MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulog2sum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulog2sum 24971
Description: Asymptotic formula for Σ𝑛𝑥, (μ(𝑛) / 𝑛)log↑2(𝑥 / 𝑛) = 2log𝑥 + 𝑂(1). Equation 10.2.8 of [Shapiro], p. 407. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulog2sum (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem mulog2sum
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
21logdivsum 24967 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 ∧ (((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 1 ∧ 1 ∈ ℝ+ ∧ e ≤ 1) → (abs‘(((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))‘1) − 1)) ≤ ((log‘1) / 1)))
32simp2i 1063 . 2 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟
4 eldmg 5228 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑧(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧))
54ibi 254 . 2 ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑧(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧)
6 id 22 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧)
71, 6mulog2sumlem3 24970 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
87exlimiv 1844 . 2 (∃𝑧(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
93, 5, 8mp2b 10 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030  wex 1694  wcel 1976   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9792  1c1 9794   · cmul 9798  cle 9932  cmin 10118   / cdiv 10536  2c2 10920  +crp 11667  ...cfz 12155  cfl 12411  cexp 12680  abscabs 13771  𝑟 crli 14013  𝑂(1)co1 14014  Σcsu 14213  eceu 14581  logclog 24050  μcmu 24566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-o1 14018  df-lo1 14019  df-sum 14214  df-ef 14586  df-e 14587  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-dvds 14771  df-gcd 15004  df-prm 15173  df-pc 15329  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-cmp 20948  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-log 24052  df-cxp 24053  df-em 24464  df-mu 24572
This theorem is referenced by:  selberglem1  24979
  Copyright terms: Public domain W3C validator