MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulp1mod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulp1mod1 12667
Description: The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulp1mod1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem mulp1mod1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 11659 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 zcn 11342 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52, 4mulcomd 10021 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑁))
65oveq1d 6630 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁))
7 eluz2nn 11686 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
87nnrpd 11830 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9 mulmod0 12632 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
108, 9sylan2 491 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 · 𝑁) mod 𝑁) = 0)
116, 10eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) = 0)
1211oveq1d 6630 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 11092 . . . 4 (0 + 1) = 1
1412, 13syl6eq 2671 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) = 1)
1514oveq1d 6630 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
16 eluzelre 11658 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 zre 11341 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2017, 19remulcld 10030 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
21 1red 10015 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
228adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
23 modaddmod 12665 . . 3 (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1323 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 · 𝐴) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁))
25 eluz2gt1 11720 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
2616, 25jca 554 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
2726adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
28 1mod 12658 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
2927, 28syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (1 mod 𝑁) = 1)
3015, 24, 293eqtr3d 2663 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 · 𝐴) + 1) mod 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  2c2 11030  cz 11337  cuz 11647  +crp 11792   mod cmo 12624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fl 12549  df-mod 12625
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2lem1  40807
  Copyright terms: Public domain W3C validator