MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsuble0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsuble0b 11085
Description: A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulsuble0b ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))

Proof of Theorem mulsuble0b
StepHypRef Expression
1 resubcl 10535 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
213adant3 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
3 resubcl 10535 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
43ancoms 468 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
543adant1 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
6 mulle0b 11084 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0))))
72, 5, 6syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0))))
8 suble0 10732 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
983adant3 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
10 subge0 10731 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
1110ancoms 468 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
12113adant1 1125 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
139, 12anbi12d 749 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶)))
14 subge0 10731 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
15143adant3 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
16 suble0 10732 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
1716ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
18173adant1 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
1915, 18anbi12d 749 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐵)))
20 ancom 465 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴))
2119, 20syl6bb 276 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴)))
2213, 21orbi12d 748 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0)) ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))
237, 22bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072  wcel 2137   class class class wbr 4802  (class class class)co 6811  cr 10125  0cc0 10126   · cmul 10131  cle 10265  cmin 10456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-po 5185  df-so 5186  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875
This theorem is referenced by:  brbtwn2  25982
  Copyright terms: Public domain W3C validator