Users' Mathboxes Mathbox for Andrew Salmon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulvval 38498
Description: Value of the operation of scalar multiplication. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)
Assertion
Ref Expression
mulvval ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑣))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem mulvval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3210 . 2 (𝐴𝐶𝐴 ∈ V)
2 elex 3210 . 2 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
3 fveq1 6188 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑣) = (𝐵𝑣))
4 oveq12 6656 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴 ∧ (𝑦𝑣) = (𝐵𝑣)) → (𝑥 · (𝑦𝑣)) = (𝐴 · (𝐵𝑣)))
53, 4sylan2 491 . . . 4 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝑥 · (𝑦𝑣)) = (𝐴 · (𝐵𝑣)))
65mpteq2dv 4743 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑣))))
7 df-mulv 38495 . . 3 .𝑣 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦𝑣))))
8 reex 10024 . . . 4 ℝ ∈ V
98mptex 6483 . . 3 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑣))) ∈ V
106, 7, 9ovmpt2a 6788 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑣))))
111, 2, 10syl2an 494 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑣))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  Vcvv 3198  cmpt 4727  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932   · cmul 9938  .𝑣ctimesr 38489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pr 4904  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-mulv 38495
This theorem is referenced by:  mulvfv  38501  mulvfn  38504
  Copyright terms: Public domain W3C validator