MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mumullem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mumullem1 24800
Description: Lemma for mumul 24802. A multiple of a non-squarefree number is non-squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mumullem1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)

Proof of Theorem mumullem1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 15308 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
21adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
3 zsqcl 12871 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
5 nnz 11344 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
65ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 nnz 11344 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
87ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
9 dvdsmultr1 14938 . . . . 5 (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
104, 6, 8, 9syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
1110reximdva 3016 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
12 isnsqf 24756 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
1312adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
14 nnmulcl 10988 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
15 isnsqf 24756 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ → ((μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ (𝐴 · 𝐵)))
1711, 13, 163imtr4d 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((μ‘𝐴) = 0 → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0))
1817imp 445 1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wrex 2913   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881   · cmul 9886  cn 10965  2c2 11015  cz 11322  cexp 12797  cdvds 14902  cprime 15304  μcmu 24716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-dvds 14903  df-prm 15305  df-mu 24722
This theorem is referenced by:  mumul  24802
  Copyright terms: Public domain W3C validator