Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musumsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem musumsum 24818
 Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
musumsum.1 (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
musumsum.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
musumsum.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
musumsum.4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
musumsum.5 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
musumsum (𝜑 → Σ𝑚𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝐴   𝑘,𝑛,𝑚   𝜑,𝑘,𝑚   𝐵,𝑘   𝐶,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem musumsum
StepHypRef Expression
1 musumsum.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
21sselda 3583 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
3 musum 24817 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) = if(𝑚 = 1, 1, 0))
54oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵))
6 fzfid 12712 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝐴) → (1...𝑚) ∈ Fin)
7 dvdsssfz1 14964 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ⊆ (1...𝑚))
82, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ⊆ (1...𝑚))
9 ssfi 8124 . . . . . 6 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ⊆ (1...𝑚)) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ∈ Fin)
11 musumsum.5 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 elrabi 3342 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
13 mucl 24767 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1514zcnd 11427 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
1615adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
1710, 11, 16fsummulc1 14445 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → (Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} (μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵))
18 ovif 6690 . . . . 5 (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵))
19 velsn 4164 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ {1} ↔ 𝑚 = 1)
2019bicomi 214 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1})
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑚 = 1 ↔ 𝑚 ∈ {1}))
22 mulid2 9982 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
23 mul02 10158 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
2421, 22, 23ifbieq12d 4085 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
2511, 24syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝐴) → if(𝑚 = 1, (1 · 𝐵), (0 · 𝐵)) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
2618, 25syl5eq 2667 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → (if(𝑚 = 1, 1, 0) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
275, 17, 263eqtr3d 2663 . . 3 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
2827sumeq2dv 14367 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = Σ𝑚𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
29 musumsum.4 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐴)
3029snssd 4309 . . 3 (𝜑 → {1} ⊆ 𝐴)
3130sselda 3583 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ {1}) → 𝑚𝐴)
3231, 11syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ {1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
3332ralrimiva 2960 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ)
34 musumsum.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3534olcd 408 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
36 sumss2 14390 . . 3 ((({1} ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ {1}𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝐴 ∈ Fin)) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
3730, 33, 35, 36syl21anc 1322 . 2 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚 ∈ {1}, 𝐵, 0))
3811ralrimiva 2960 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
39 musumsum.1 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → 𝐵 = 𝐶)
4039eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑚 = 1 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
4140rspcv 3291 . . . 4 (1 ∈ 𝐴 → (∀𝑚𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ))
4229, 38, 41sylc 65 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4339sumsn 14405 . . 3 ((1 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
4429, 42, 43syl2anc 692 . 2 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {1}𝐵 = 𝐶)
4528, 37, 443eqtr2d 2661 1 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑚} ((μ‘𝑘) · 𝐵) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911   ⊆ wss 3555  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  ℕcn 10964  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  Σcsu 14350   ∥ cdvds 14907  μcmu 24721 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-mu 24727 This theorem is referenced by:  dchrmusum2  25083  dchrvmasum2lem  25085  mudivsum  25119  mulogsum  25121  mulog2sumlem2  25124
 Copyright terms: Public domain W3C validator