Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mvhf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvhf1 31199
 Description: The function mapping variables to variable expressions is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mvhf.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h 𝐻 = (mVH‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mvhf1 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉1-1𝐸)

Proof of Theorem mvhf1
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvhf.v . . 3 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2 mvhf.e . . 3 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3 mvhf.h . . 3 𝐻 = (mVH‘𝑇)
41, 2, 3mvhf 31198 . 2 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉𝐸)
5 eqid 2621 . . . . . . 7 (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
61, 5, 3mvhval 31174 . . . . . 6 (𝑣𝑉 → (𝐻𝑣) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
71, 5, 3mvhval 31174 . . . . . 6 (𝑤𝑉 → (𝐻𝑤) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩)
86, 7eqeqan12d 2637 . . . . 5 ((𝑣𝑉𝑤𝑉) → ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
98adantl 482 . . . 4 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
10 fvex 6163 . . . . . . 7 ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ V
11 s1cli 13331 . . . . . . . 8 ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word V
1211elexi 3202 . . . . . . 7 ⟨“𝑣”⟩ ∈ V
1310, 12opth 4910 . . . . . 6 (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ ↔ (((mType‘𝑇)‘𝑣) = ((mType‘𝑇)‘𝑤) ∧ ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩))
1413simprbi 480 . . . . 5 (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
15 s111 13342 . . . . . 6 ((𝑣𝑉𝑤𝑉) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
1615adantl 482 . . . . 5 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
1714, 16syl5ib 234 . . . 4 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → 𝑣 = 𝑤))
189, 17sylbid 230 . . 3 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
1918ralrimivva 2966 . 2 (𝑇 ∈ mFS → ∀𝑣𝑉𝑤𝑉 ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
20 dff13 6472 . 2 (𝐻:𝑉1-1𝐸 ↔ (𝐻:𝑉𝐸 ∧ ∀𝑣𝑉𝑤𝑉 ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) → 𝑣 = 𝑤)))
214, 19, 20sylanbrc 697 1 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉1-1𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3189  ⟨cop 4159  ⟶wf 5848  –1-1→wf1 5849  ‘cfv 5852  Word cword 13238  ⟨“cs1 13241  mVRcmvar 31101  mTypecmty 31102  mExcmex 31107  mVHcmvh 31112  mFScmfs 31116 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-s1 13249  df-mrex 31126  df-mex 31127  df-mvh 31132  df-mfs 31136 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator