MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmumamul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvmumamul1 20288
Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmumamul1.x × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
mvmumamul1.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mvmumamul1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mvmumamul1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mvmumamul1.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mvmumamul1.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mvmumamul1.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mvmumamul1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
mvmumamul1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × {∅})))
Assertion
Ref Expression
mvmumamul1 (𝜑 → (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   × (𝑖,𝑗)   𝑀(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mvmumamul1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmumamul1.t . . . . . 6 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 mvmumamul1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2621 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mvmumamul1.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mvmumamul1.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑀 ∈ Fin)
8 mvmumamul1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑁 ∈ Fin)
10 mvmumamul1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
12 mvmumamul1.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
14 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑖𝑀)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14mvmulfv 20278 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))))
1615adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))))
17 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑌𝑗) = (𝑌𝑘))
18 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑍∅) = (𝑘𝑍∅))
1917, 18eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) ↔ (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2019rspccv 3295 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → (𝑘𝑁 → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘𝑁 → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
2221imp 445 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑌𝑘) = (𝑘𝑍∅))
2322oveq2d 6626 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)) = ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))
2423mpteq2dva 4709 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅))))
2524oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
2625adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
27 mvmumamul1.x . . . . . . 7 × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
28 snfi 7989 . . . . . . . 8 {∅} ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → {∅} ∈ Fin)
30 mvmumamul1.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × {∅})))
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × {∅})))
32 0ex 4755 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
3332snid 4184 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
3433a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑀) → ∅ ∈ {∅})
3527, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34mamufv 20121 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑀) → (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
3635eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3736adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3816, 26, 373eqtrd 2659 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
3938ralrimiva 2961 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
4039ex 450 1 (𝜑 → (∀𝑗𝑁 (𝑌𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  c0 3896  {csn 4153  cop 4159  cotp 4161  cmpt 4678   × cxp 5077  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809  Fincfn 7906  Basecbs 15788  .rcmulr 15870   Σg cgsu 16029  Ringcrg 18475   maMul cmmul 20117   maVecMul cmvmul 20274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-1o 7512  df-en 7907  df-fin 7910  df-mamu 20118  df-mvmul 20275
This theorem is referenced by:  mavmumamul1  20289
  Copyright terms: Public domain W3C validator