MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrcl 19671
Description: A power series variable is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrcl.s 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mvrcl.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mvrcl.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mvrcl.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
mvrcl (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mvrcl
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mvrcl.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3 eqid 2760 . . 3 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4 mvrcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 mvrcl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 mvrcl.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvrcl2 19648 . 2 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8 fvexd 6365 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ V)
9 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10 eqid 2760 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
111, 9, 10, 3, 7psrelbas 19601 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12 ffun 6209 . . . 4 ((𝑉𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅) → Fun (𝑉𝑋))
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑉𝑋))
14 fvexd 6365 . . 3 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
15 snfi 8205 . . . 4 {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin)
17 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
18 eqid 2760 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
194adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝐼𝑊)
205adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑅 ∈ Ring)
216adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑋𝐼)
22 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))
23 eldifsn 4462 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
2422, 23sylib 208 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
2524simpld 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
262, 10, 17, 18, 19, 20, 21, 25mvrval2 19644 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉𝑋)‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))
2724simprd 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ≠ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
2827neneqd 2937 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ¬ 𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
2928iffalsed 4241 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → if(𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3026, 29eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉𝑋)‘𝑥) = (0g𝑅))
3111, 30suppss 7495 . . 3 (𝜑 → ((𝑉𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})
32 suppssfifsupp 8457 . . 3 ((((𝑉𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑉𝑋) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑉𝑋) finSupp (0g𝑅))
338, 13, 14, 16, 31, 32syl32anc 1485 . 2 (𝜑 → (𝑉𝑋) finSupp (0g𝑅))
34 mvrcl.s . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
35 mvrcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3634, 1, 3, 17, 35mplelbas 19652 . 2 ((𝑉𝑋) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑉𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑉𝑋) finSupp (0g𝑅)))
377, 33, 36sylanbrc 701 1 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccnv 5265  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814   supp csupp 7464  𝑚 cmap 8025  Fincfn 8123   finSupp cfsupp 8442  0cc0 10148  1c1 10149  cn 11232  0cn0 11504  Basecbs 16079  0gc0g 16322  1rcur 18721  Ringcrg 18767   mPwSer cmps 19573   mVar cmvr 19574   mPoly cmpl 19575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-tset 16182  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-psr 19578  df-mvr 19579  df-mpl 19580
This theorem is referenced by:  subrgmvrf  19684  mplcoe3  19688  mplcoe5lem  19689  mplcoe5  19690  mplcoe2  19691  mplbas2  19692  mvrf2  19714  mpfproj  19753  mpfind  19758  vr1cl  19809
  Copyright terms: Public domain W3C validator