Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrf 19626
 Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing 𝑋𝑖 for each 𝑖. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrf.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mvrf (𝜑𝑉:𝐼𝐵)

Proof of Theorem mvrf
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 18768 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
6 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
72, 6ring0cl 18769 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
81, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
95, 8ifcld 4275 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
109ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
11 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))
1210, 11fmptd 6548 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))):{ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
13 fvex 6362 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
14 ovex 6841 . . . . . . 7 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1514rabex 4964 . . . . . 6 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1613, 15elmap 8052 . . . . 5 ((𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))):{ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1712, 16sylibr 224 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
18 mvrf.s . . . . . 6 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
19 eqid 2760 . . . . . 6 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
20 mvrf.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
21 mvrf.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
2218, 2, 19, 20, 21psrbas 19580 . . . . 5 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
2322adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
2417, 23eleqtrrd 2842 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵)
25 eqid 2760 . . 3 (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))))
2624, 25fmptd 6548 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))):𝐼𝐵)
27 mvrf.v . . . 4 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2827, 19, 6, 3, 21, 1mvrfval 19622 . . 3 (𝜑𝑉 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
2928feq1d 6191 . 2 (𝜑 → (𝑉:𝐼𝐵 ↔ (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))):𝐼𝐵))
3026, 29mpbird 247 1 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054  ifcif 4230   ↦ cmpt 4881  ◡ccnv 5265   “ cima 5269  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↑𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  0cc0 10128  1c1 10129  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  Basecbs 16059  0gc0g 16302  1rcur 18701  Ringcrg 18747   mPwSer cmps 19553   mVar cmvr 19554 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-psr 19558  df-mvr 19559 This theorem is referenced by:  mvrf1  19627  mvrcl2  19628  subrgmvrf  19664  mplbas2  19672  mvrf2  19694  evlseu  19718
 Copyright terms: Public domain W3C validator