Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpclall Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpclall 36767
Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 36764 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6612 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑𝑚 𝑣) = (ℤ ↑𝑚 𝑉))
21oveq2d 6620 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) = (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
3 fveq2 6148 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → (mzPolyCld‘𝑣) = (mzPolyCld‘𝑉))
42, 3eleq12d 2692 . 2 (𝑣 = 𝑉 → ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
5 ssid 3603 . . 3 (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
6 ovex 6632 . . . . . . 7 (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∈ V
7 zex 11330 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
86, 7constmap 36753 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
98rgen 2917 . . . . 5 𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
10 vex 3189 . . . . . . . . . . 11 𝑣 ∈ V
117, 10elmap 7830 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↔ 𝑔:𝑣⟶ℤ)
12 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:𝑣⟶ℤ ∧ 𝑓𝑣) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
1311, 12sylanb 489 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∧ 𝑓𝑣) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
1413ancoms 469 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑣𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣)) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
15 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓))
1614, 15fmptd 6340 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
177, 6elmap 7830 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
1816, 17sylibr 224 . . . . . 6 (𝑓𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
1918rgen 2917 . . . . 5 𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
209, 19pm3.2i 471 . . . 4 (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
21 zaddcl 11361 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
2221adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
23 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
24 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
256a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∈ V)
26 inidm 3800 . . . . . . . 8 ((ℤ ↑𝑚 𝑣) ∩ (ℤ ↑𝑚 𝑣)) = (ℤ ↑𝑚 𝑣)
2722, 23, 24, 25, 25, 26off 6865 . . . . . . 7 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
28 zmulcl 11370 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
2928adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
3029, 23, 24, 25, 25, 26off 6865 . . . . . . 7 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
3127, 30jca 554 . . . . . 6 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → ((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
327, 6elmap 7830 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
337, 6elmap 7830 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
3432, 33anbi12i 732 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ↔ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
357, 6elmap 7830 . . . . . . 7 ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
367, 6elmap 7830 . . . . . . 7 ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
3735, 36anbi12i 732 . . . . . 6 (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ↔ ((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
3831, 34, 373imtr4i 281 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))
3938rgen2a 2971 . . . 4 𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
4020, 39pm3.2i 471 . . 3 ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))
41 elmzpcl 36766 . . . 4 (𝑣 ∈ V → ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))))))
4210, 41ax-mp 5 . . 3 ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))))
435, 40, 42mpbir2an 954 . 2 (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣)
444, 43vtoclg 3252 1 (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3555  {csn 4148  cmpt 4673   × cxp 5072  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  𝑚 cmap 7802   + caddc 9883   · cmul 9885  cz 11321  mzPolyCldcmzpcl 36761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-mzpcl 36763
This theorem is referenced by:  mzpcln0  36768  mzpincl  36774  mzpf  36776
  Copyright terms: Public domain W3C validator