Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcompact2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpcompact2 36762
Description: Polynomials are finitary objects and can only reference a finite number of variables, even if the index set is infinite. Thus, every polynomial can be expressed as a (uniquely minimal, although we do not prove that) polynomial on a finite number of variables, which is then extended by adding an arbitrary set of ignored variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcompact2 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem mzpcompact2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6179 . 2 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → 𝐵 ∈ V)
2 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑑 = 𝐵 → (mzPoly‘𝑑) = (mzPoly‘𝐵))
32eleq2d 2689 . . . 4 (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) ↔ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵)))
4 sseq2 3611 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐵 → (𝑎𝑑𝑎𝐵))
5 oveq2 6613 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐵 → (ℤ ↑𝑚 𝑑) = (ℤ ↑𝑚 𝐵))
65mpteq1d 4703 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐵 → (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))
76eqeq2d 2636 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))) ↔ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
84, 7anbi12d 746 . . . . 5 (𝑑 = 𝐵 → ((𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))) ↔ (𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
982rexbidv 3055 . . . 4 (𝑑 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))) ↔ ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
103, 9imbi12d 334 . . 3 (𝑑 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))) ↔ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))))
11 vex 3194 . . . 4 𝑑 ∈ V
1211mzpcompact2lem 36761 . . 3 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
1310, 12vtoclg 3257 . 2 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
141, 13mpcom 38 1 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wrex 2913  Vcvv 3191  wss 3560  cmpt 4678  cres 5081  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900  cz 11322  mzPolycmzp 36732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-mzpcl 36733  df-mzp 36734
This theorem is referenced by:  eldioph2  36772
  Copyright terms: Public domain W3C validator