Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzprename Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzprename 37138
Description: Simplified version of mzpsubst 37137 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzprename ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzprename
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊))
2 zex 11383 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
3 simpll 790 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
4 elmapg 7867 . . . . . . . . 9 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
52, 3, 4sylancr 695 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
61, 5mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥:𝑊⟶ℤ)
7 simplr 792 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑅:𝑉𝑊)
8 fcompt 6397 . . . . . . 7 ((𝑥:𝑊⟶ℤ ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))))
96, 7, 8syl2anc 693 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))))
10 fveq1 6188 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏‘(𝑅𝑎)) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
11 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) = (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))
12 fvex 6199 . . . . . . . . . 10 (𝑥‘(𝑅𝑎)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6280 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
1413ad2antlr 763 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
1514eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑥‘(𝑅𝑎)) = ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥))
1615mpteq2dva 4742 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))) = (𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))
179, 16eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))
1817fveq2d 6193 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝐹‘(𝑥𝑅)) = (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥))))
1918mpteq2dva 4742 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))))
20193adant2 1079 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))))
21 simpl1 1063 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑊 ∈ V)
22 ffvelrn 6355 . . . . . 6 ((𝑅:𝑉𝑊𝑎𝑉) → (𝑅𝑎) ∈ 𝑊)
23223ad2antl3 1224 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑅𝑎) ∈ 𝑊)
24 mzpproj 37126 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑅𝑎) ∈ 𝑊) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2521, 23, 24syl2anc 693 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2625ralrimiva 2965 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → ∀𝑎𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
27 mzpsubst 37137 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑎𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2826, 27syld3an3 1370 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2920, 28eqeltrd 2700 1 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  Vcvv 3198  cmpt 4727  ccom 5116  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  𝑚 cmap 7854  cz 11374  mzPolycmzp 37111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-mzpcl 37112  df-mzp 37113
This theorem is referenced by:  mzpresrename  37139  eldioph2  37151  eldioph2b  37152  diophren  37203
  Copyright terms: Public domain W3C validator