Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpresrename Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpresrename 36779
 Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mzpresrename ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzpresrename
StepHypRef Expression
1 coires1 5615 . . . 4 (𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)) = (𝑥𝑉)
21fveq2i 6153 . . 3 (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘(𝑥𝑉))
32mpteq2i 4706 . 2 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑉)))
4 simp1 1059 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑊 ∈ V)
5 simp3 1061 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
6 f1oi 6133 . . . . . 6 ( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉
7 f1of 6096 . . . . . 6 (( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉
9 fss 6015 . . . . 5 ((( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉𝑉𝑊) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊)
108, 9mpan 705 . . . 4 (𝑉𝑊 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊)
11103ad2ant2 1081 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊)
12 mzprename 36778 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
134, 5, 11, 12syl3anc 1323 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
143, 13syl5eqelr 2709 1 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191   ⊆ wss 3560   ↦ cmpt 4678   I cid 4989   ↾ cres 5081   ∘ ccom 5083  ⟶wf 5846  –1-1-onto→wf1o 5849  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↑𝑚 cmap 7803  ℤcz 11322  mzPolycmzp 36751 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-mzpcl 36752  df-mzp 36753 This theorem is referenced by:  mzpcompact2lem  36780  diophin  36802  rabdiophlem2  36832
 Copyright terms: Public domain W3C validator