Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpsubmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpsubmpt 37623
Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubmpt (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mzpsubmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4780 . . . . 5 𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴)
21nfel1 2808 . . . 4 𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)
3 nfmpt1 4780 . . . . 5 𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵)
43nfel1 2808 . . . 4 𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)
52, 4nfan 1868 . . 3 𝑥((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉))
6 mzpf 37616 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
76ad2antlr 763 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
8 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
9 mptfcl 37600 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → 𝐵 ∈ ℤ))
107, 8, 9sylc 65 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐵 ∈ ℤ)
1110zcnd 11521 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1211mulm1d 10520 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
1312oveq2d 6706 . . . 4 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + -𝐵))
14 mzpf 37616 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
1514ad2antrr 762 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
16 mptfcl 37600 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → 𝐴 ∈ ℤ))
1715, 8, 16sylc 65 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℤ)
1817zcnd 11521 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918, 11negsubd 10436 . . . 4 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
2013, 19eqtr2d 2686 . . 3 ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝐴𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
215, 20mpteq2da 4776 . 2 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
22 elfvex 6259 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
23 neg1z 11451 . . . . 5 -1 ∈ ℤ
24 mzpconstmpt 37620 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
2522, 23, 24sylancl 695 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
26 mzpmulmpt 37622 . . . 4 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
2725, 26mpancom 704 . . 3 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
28 mzpaddmpt 37621 . . 3 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
2927, 28sylan2 490 . 2 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
3021, 29eqeltrd 2730 1 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  Vcvv 3231  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305  cz 11415  mzPolycmzp 37602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-mzpcl 37603  df-mzp 37604
This theorem is referenced by:  mzpnegmpt  37624  eqrabdioph  37658  lerabdioph  37686  ltrabdioph  37689  rmydioph  37898  rmxdioph  37900  expdiophlem2  37906
  Copyright terms: Public domain W3C validator