Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpsubst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpsubst 36818
Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial. 𝐺 is expected to depend on 𝑦 and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
2 elfvex 6183 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
323ad2ant2 1081 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
4 simp3 1061 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
5 simp2 1060 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
6 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊))
7 simpll3 1100 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
8 simpll2 1099 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
9 mzpf 36806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → 𝐺:(ℤ ↑𝑚 𝑊)⟶ℤ)
109ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
1110expcom 451 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) → (𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ))
1211ralimdv 2958 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) → (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → ∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ))
1312imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → ∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
14 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) = (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))
1514fmpt 6342 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
1613, 15sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
18 zex 11337 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
19 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑉 ∈ V)
20 elmapg 7822 . . . . . . . . 9 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ))
2118, 19, 20sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ))
2217, 21mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
236, 7, 8, 22syl21anc 1322 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
24 vex 3192 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
2524fvconst2 6429 . . . . . 6 ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = 𝑏)
2623, 25syl 17 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = 𝑏)
2726mpteq2dva 4709 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ 𝑏))
28 mzpconstmpt 36810 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ 𝑏) ∈ (mzPoly‘𝑊))
29283ad2antl1 1221 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ 𝑏) ∈ (mzPoly‘𝑊))
3027, 29eqeltrd 2698 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
31 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊))
32 simpll3 1100 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
33 simpll2 1099 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
3431, 32, 33, 22syl21anc 1322 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
35 fveq1 6152 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) → (𝑐𝑏) = ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏))
36 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))
37 fvex 6163 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏) ∈ V
3835, 36, 37fvmpt 6244 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏))
40 simplr 791 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑏𝑉)
41 fvex 6163 . . . . . . . 8 (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥) ∈ V
42 csbeq1 3521 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏𝑎 / 𝑦𝐺 = 𝑏 / 𝑦𝐺)
4342fveq1d 6155 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 / 𝑦𝐺𝑥) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
44 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝐺𝑥)
45 nfcsb1v 3534 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑎 / 𝑦𝐺
46 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑥
4745, 46nffv 6160 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝑎 / 𝑦𝐺𝑥)
48 csbeq1a 3527 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎𝐺 = 𝑎 / 𝑦𝐺)
4948fveq1d 6155 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝐺𝑥) = (𝑎 / 𝑦𝐺𝑥))
5044, 47, 49cbvmpt 4714 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑎 / 𝑦𝐺𝑥))
5143, 50fvmptg 6242 . . . . . . . 8 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥) ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
5240, 41, 51sylancl 693 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
5339, 52eqtrd 2655 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
5453mpteq2dva 4709 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥)))
55 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
56 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
57 nfcsb1v 3534 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑏 / 𝑦𝐺
5857nfel1 2775 . . . . . . . . 9 𝑦𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)
59 csbeq1a 3527 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏𝐺 = 𝑏 / 𝑦𝐺)
6059eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → (𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ 𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)))
6158, 60rspc 3292 . . . . . . . 8 (𝑏𝑉 → (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → 𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)))
6255, 56, 61sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
63 mzpf 36806 . . . . . . 7 (𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → 𝑏 / 𝑦𝐺:(ℤ ↑𝑚 𝑊)⟶ℤ)
6462, 63syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 / 𝑦𝐺:(ℤ ↑𝑚 𝑊)⟶ℤ)
6564feqmptd 6211 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 / 𝑦𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥)))
6654, 65eqtr4d 2658 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = 𝑏 / 𝑦𝐺)
6766, 62eqeltrd 2698 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
68 simp2l 1085 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
69 ffn 6007 . . . . . 6 (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
7068, 69syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
71 simp3l 1087 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
72 ffn 6007 . . . . . 6 (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
7371, 72syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
74 simp13 1091 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
75 simp12 1090 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑉 ∈ V)
76 simplll 797 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
77 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
78 ovex 6638 . . . . . . . 8 (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
7978a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V)
80 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊))
81 simplrl 799 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
8280, 81, 12sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
8382, 15sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
84 simplrr 800 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
8518, 84, 20sylancr 694 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ))
8683, 85mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
87 fnfvof 6871 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
8876, 77, 79, 86, 87syl22anc 1324 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
8988mpteq2dva 4709 . . . . 5 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
9070, 73, 74, 75, 89syl22anc 1324 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
91 simp2r 1086 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
92 simp3r 1088 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
93 mzpaddmpt 36811 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
9491, 92, 93syl2anc 692 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
9590, 94eqeltrd 2698 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
96 fnfvof 6871 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
9776, 77, 79, 86, 96syl22anc 1324 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
9897mpteq2dva 4709 . . . . 5 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
9970, 73, 74, 75, 98syl22anc 1324 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
100 mzpmulmpt 36812 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
10191, 92, 100syl2anc 692 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
10299, 101eqeltrd 2698 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
103 fveq1 6152 . . . . 5 (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
104103mpteq2dv 4710 . . . 4 (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
105104eleq1d 2683 . . 3 (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
106 fveq1 6152 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
107106mpteq2dv 4710 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
108107eleq1d 2683 . . 3 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
109 fveq1 6152 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
110109mpteq2dv 4710 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
111110eleq1d 2683 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
112 fveq1 6152 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
113112mpteq2dv 4710 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
114113eleq1d 2683 . . 3 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
115 fveq1 6152 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏𝑓 + 𝑐) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
116115mpteq2dv 4710 . . . 4 (𝑎 = (𝑏𝑓 + 𝑐) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
117116eleq1d 2683 . . 3 (𝑎 = (𝑏𝑓 + 𝑐) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
118 fveq1 6152 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏𝑓 · 𝑐) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
119118mpteq2dv 4710 . . . 4 (𝑎 = (𝑏𝑓 · 𝑐) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
120119eleq1d 2683 . . 3 (𝑎 = (𝑏𝑓 · 𝑐) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
121 fveq1 6152 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
122121mpteq2dv 4710 . . . 4 (𝑎 = 𝐹 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
123122eleq1d 2683 . . 3 (𝑎 = 𝐹 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
12430, 67, 95, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123mzpindd 36816 . 2 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
1251, 3, 4, 5, 124syl31anc 1326 1 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  csb 3518  {csn 4153  cmpt 4678   × cxp 5077   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  𝑚 cmap 7809   + caddc 9890   · cmul 9892  cz 11328  mzPolycmzp 36792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-mzpcl 36793  df-mzp 36794
This theorem is referenced by:  mzprename  36819
  Copyright terms: Public domain W3C validator