Theorem n4cyclfrgr 28072

Description: There is no 4-cycle in a friendship graph, see Proposition 1(a) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G contains no C4 as a subgraph ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n4cyclfrgr	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 4)

Proof of Theorem n4cyclfrgr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑘 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrusgr 28042	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2		usgrupgr 26969	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
4		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	upgr4cycl4dv4e 27966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))
7	4, 5	isfrgr 28041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
8		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))
9		necom 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ 𝑐 ≠ 𝑎)
10	9	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑐 → 𝑐 ≠ 𝑎)
11	10	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑐 ≠ 𝑎)
12	11	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑐 ≠ 𝑎)
13	12	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑐 ≠ 𝑎)
14		eldifsn 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}) ↔ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑐 ≠ 𝑎))
15	8, 13, 14	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑐 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}))
16		sneq 4579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
17	16	difeq2d 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}))
18		preq2 4672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑥, 𝑘} = {𝑥, 𝑎})
19	18	preq1d 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} = {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}})
20	19	sseq1d 4000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ({{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
21	20	reubidv 3391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
22	17, 21	raleqbidv 3403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
23	22	rspcv 3620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
24	23	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
25		preq2 4672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑐 → {𝑥, 𝑙} = {𝑥, 𝑐})
26	25	preq2d 4678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑐 → {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} = {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}})
27	26	sseq1d 4000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑐 → ({{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
28	27	reubidv 3391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑐 → (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
29	28	rspcv 3620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}) → (∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
30	15, 24, 29	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
31		prcom 4670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥, 𝑎} = {𝑎, 𝑥}
32	31	preq1i 4674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}}
33	32	sseq1i 3997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
34	33	reubii 3393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
35		simprll 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36		simprlr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
37		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))
38		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))
39		simprr2 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑏 ≠ 𝑑)
40	39	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑏 ≠ 𝑑)
41		4cycl2vnunb 28071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
42	35, 36, 37, 38, 40, 41	syl113anc 1378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → ¬ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
43	42	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
44	43	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
45	34, 44	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
46	30, 45	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
47	46	pm2.43b 55	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
48	47	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
49	7, 48	sylbi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
50	49	expdcom 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
51	50	rexlimdvva 3296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
52	51	rexlimivv 3294	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4))
53	6, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4))
54	53	3exp 1115	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4))))
55	54	com34 91	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4))))
56	55	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4))))
57	3, 56	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
58	57	imp 409	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4))
59		neqne 3026	. 2 ⊢ (¬ (♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4)
60	58, 59	pm2.61d1 182	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  ∃!wreu 3142   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  {csn 4569  {cpr 4571   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  4c4 11697  ♯chash 13693  Vtxcvtx 26783  Edgcedg 26834  UPGraphcupgr 26867  USGraphcusgr 26936  Cyclesccycls 27568   FriendGraph cfrgr 28039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-edg 26835  df-uhgr 26845  df-upgr 26869  df-uspgr 26937  df-usgr 26938  df-wlks 27383  df-trls 27476  df-pths 27499  df-cycls 27570  df-frgr 28040

This theorem is referenced by: (None)