MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  natcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natcl 16594
Description: A component of a natural transformation is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natrcl.1 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2 (𝜑𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺𝑁𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
natixp.j 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
natcl.1 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
natcl (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))

Proof of Theorem natcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natrcl.1 . . 3 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2 natixp.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺𝑁𝐾, 𝐿⟩))
3 natixp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 natixp.j . . 3 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
51, 2, 3, 4natixp 16593 . 2 (𝜑𝐴X𝑥𝐵 ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)))
6 natcl.1 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
7 fveq2 6178 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
8 fveq2 6178 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐾𝑥) = (𝐾𝑋))
97, 8oveq12d 6653 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)) = ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
109fvixp 7898 . 2 ((𝐴X𝑥𝐵 ((𝐹𝑥)𝐽(𝐾𝑥)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
115, 6, 10syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ((𝐹𝑋)𝐽(𝐾𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  cop 4174  cfv 5876  (class class class)co 6635  Xcixp 7893  Basecbs 15838  Hom chom 15933   Nat cnat 16582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-ixp 7894  df-func 16499  df-nat 16584
This theorem is referenced by:  fuccocl  16605  fuclid  16607  fucrid  16608  fucass  16609  fucsect  16613  invfuc  16615  fucpropd  16618  evlfcllem  16842  evlfcl  16843  curfuncf  16859  yonedalem3a  16895  yonedalem3b  16900  yonedainv  16902  yonffthlem  16903
  Copyright terms: Public domain W3C validator