Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbfusgrlevtxm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbfusgrlevtxm2 26261
 Description: If there is a vertex which is not a neighbor of another vertex, the number of neighbors of the other vertex is at most the number of vertices of the graph minus 2 in a finite simple graph. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hashnbusgrnn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbfusgrlevtxm2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((#‘𝑉) − 2))

Proof of Theorem nbfusgrlevtxm2
StepHypRef Expression
1 hashnbusgrnn0.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 fvex 6188 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) ∈ V
31, 2eqeltri 2695 . . . 4 𝑉 ∈ V
4 difexg 4799 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}) ∈ V)
6 simpl 473 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
7 simp3 1061 . . . 4 ((𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) → 𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
81nbgrssvwo2 26242 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}))
96, 7, 8syl2an 494 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}))
10 hashss 13180 . . 3 (((𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}) ∈ V ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (#‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})))
115, 9, 10syl2anc 692 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (#‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})))
121isfusgr 26191 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
1312simprbi 480 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
1413adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
1514adantr 481 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑉 ∈ Fin)
16 simpr1 1065 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑀𝑉)
17 simplr 791 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑈𝑉)
18 simpr2 1066 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑀𝑈)
19 hashdifpr 13186 . . 3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝑀𝑉𝑈𝑉𝑀𝑈)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})) = ((#‘𝑉) − 2))
2015, 16, 17, 18, 19syl13anc 1326 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})) = ((#‘𝑉) − 2))
2111, 20breqtrd 4670 1 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((#‘𝑉) − 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791   ∉ wnel 2894  Vcvv 3195   ∖ cdif 3564   ⊆ wss 3567  {cpr 4170   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940   ≤ cle 10060   − cmin 10251  2c2 11055  #chash 13100  Vtxcvtx 25855   USGraph cusgr 26025   FinUSGraph cfusgr 26189   NeighbVtx cnbgr 26205 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101  df-fusgr 26190  df-nbgr 26209 This theorem is referenced by:  nbusgrvtxm1  26262
 Copyright terms: Public domain W3C validator