Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbgrel 26125
 Description: Characterization of a neighbor of a vertex 𝑉 in a graph 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 9-Oct-2017.) (Revised by AV, 26-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 6-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgrel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbgrel.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbgrel (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝐾   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊

Proof of Theorem nbgrel
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgrcl 26120 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
2 nbgrel.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31, 2syl6eleqr 2709 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁𝑉)
43a1i 11 . . 3 (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁𝑉))
54pm4.71rd 666 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝑁𝑉𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁))))
6 nbgrel.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
72, 6nbgrval 26121 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒})
87eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒}))
9 preq2 4239 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐾 → {𝑁, 𝑘} = {𝑁, 𝐾})
109sseq1d 3611 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → ({𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
1110rexbidv 3045 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
1211elrab 3346 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒} ↔ (𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
13 eldifsn 4287 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝐾𝑉𝐾𝑁))
1413anbi1i 730 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝐾𝑉𝐾𝑁) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
15 anass 680 . . . . . . 7 (((𝐾𝑉𝐾𝑁) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
1612, 14, 153bitri 286 . . . . . 6 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒} ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
178, 16syl6bb 276 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
1817adantl 482 . . . 4 ((𝐺𝑊𝑁𝑉) → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
1918pm5.32da 672 . . 3 (𝐺𝑊 → ((𝑁𝑉𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ↔ (𝑁𝑉 ∧ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))))
20 3anass 1040 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
21 ancom 466 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ↔ (𝑁𝑉𝐾𝑉))
2221anbi1i 730 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)) ↔ ((𝑁𝑉𝐾𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
23 anass 680 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)) ↔ (𝑁𝑉 ∧ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
2420, 22, 233bitrri 287 . . 3 ((𝑁𝑉 ∧ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
2519, 24syl6bb 276 . 2 (𝐺𝑊 → ((𝑁𝑉𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
265, 25bitrd 268 1 (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908  {crab 2911   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  {csn 4148  {cpr 4150  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839   NeighbVtx cnbgr 26111 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-nbgr 26115 This theorem is referenced by:  nbgr2vtx1edg  26133  nbuhgr2vtx1edgblem  26134  nbuhgr2vtx1edgb  26135  nbgrisvtx  26142  nbgrsym  26152  isuvtxa  26182  iscplgredg  26200  cusgrexi  26226  structtocusgr  26229
 Copyright terms: Public domain W3C validator