Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgredgeu0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbusgredgeu0 26191
 Description: For each neighbor of a vertex there is exactly one edge between the vertex and its neighbor in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbusgrf1o1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
Assertion
Ref Expression
nbusgredgeu0 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑒   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖,𝑒   𝑖,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝐼(𝑒,𝑖)   𝑀(𝑒)   𝑁(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem nbusgredgeu0
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → 𝐺 ∈ USGraph )
2 nbusgrf1o1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
32eleq2i 2690 . . . . . . 7 (𝑀𝑁𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
4 nbgrsym 26186 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
65biimpd 219 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
73, 6syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑀𝑁𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
87imp 445 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
9 nbusgrf1o1.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
109nbusgredgeu 26189 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)) → ∃!𝑖𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
111, 8, 10syl2anc 692 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
12 df-reu 2915 . . . 4 (∃!𝑖𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
1311, 12sylib 208 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖(𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
14 nfv 1840 . . . 4 𝑖((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁)
15 anass 680 . . . . 5 (((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖𝐸 ∧ (𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
16 prid1g 4272 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
1716ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
18 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → (𝑈𝑖𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀}))
1917, 18syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → 𝑈𝑖))
2019pm4.71rd 666 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ (𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2120bicomd 213 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
2221anbi2d 739 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑖𝐸 ∧ (𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀})) ↔ (𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2315, 22syl5bb 272 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2414, 23eubid 2487 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖(𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2513, 24mpbird 247 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
26 df-reu 2915 . . 3 (∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖𝐼𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
27 nbusgrf1o1.i . . . . . . 7 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
2827eleq2i 2690 . . . . . 6 (𝑖𝐼𝑖 ∈ {𝑒𝐸𝑈𝑒})
29 eleq2 2687 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑖 → (𝑈𝑒𝑈𝑖))
3029elrab 3351 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑒𝐸𝑈𝑒} ↔ (𝑖𝐸𝑈𝑖))
3128, 30bitri 264 . . . . 5 (𝑖𝐼 ↔ (𝑖𝐸𝑈𝑖))
3231anbi1i 730 . . . 4 ((𝑖𝐼𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
3332eubii 2491 . . 3 (∃!𝑖(𝑖𝐼𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
3426, 33bitri 264 . 2 (∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
3525, 34sylibr 224 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃!weu 2469  ∃!wreu 2910  {crab 2912  {cpr 4157  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Vtxcvtx 25808  Edgcedg 25873   USGraph cusgr 25971   NeighbVtx cnbgr 26145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074  df-edg 25874  df-upgr 25907  df-umgr 25908  df-usgr 25973  df-nbgr 26149 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator