MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncoprmlnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncoprmlnprm 16056
Description: If two positive integers are not coprime, the larger of them is not a prime number. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ncoprmlnprm ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))

Proof of Theorem ncoprmlnprm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ncoprmgcdgt1b 15983 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ 1 < (𝐴 gcd 𝐵)))
21bicomd 224 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵)))
323adant3 1124 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵)))
4 simp1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
5 eluzelz 12241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
64, 5anim12ci 613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ))
7 dvdsle 15648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑖𝐴𝑖𝐴))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖𝐴))
9 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
10 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
11 eluzelre 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℝ)
129, 10, 113anim123i 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
13 3anrot 1092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
1412, 13sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
15 lelttr 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑖𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑖𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
1716expcomd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))
18173exp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))))
1918com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))))
20193imp1 1339 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵))
2120imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝑖 < 𝐵)
22 nnz 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
23223ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
2423, 5anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
26 zltlem1 12023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝐵𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → (𝑖 < 𝐵𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
2821, 27mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
2928ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
308, 29syldc 48 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝐴 → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3231impcom 408 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
33 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3422, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
35343ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3635anim1ci 615 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
3736adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
38 elfz5 12888 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
4032, 39mpbird 258 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)))
41 breq1 5060 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝐵𝑖𝐵))
4241adantl 482 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝑗𝐵𝑖𝐵))
43 simprr 769 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖𝐵)
4440, 42, 43rspcedvd 3623 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
45 rexnal 3235 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗𝐵 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵)
46 notnotb 316 . . . . . . . . 9 (𝑗𝐵 ↔ ¬ ¬ 𝑗𝐵)
4746bicomi 225 . . . . . . . 8 (¬ ¬ 𝑗𝐵𝑗𝐵)
4847rexbii 3244 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
4945, 48bitr3i 278 . . . . . 6 (¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
5044, 49sylibr 235 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵)
5150olcd 870 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
52 df-nel 3121 . . . . 5 (𝐵 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℙ)
53 ianor 975 . . . . . 6 (¬ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
54 isprm3 16015 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5553, 54xchnxbir 334 . . . . 5 𝐵 ∈ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5652, 55bitri 276 . . . 4 (𝐵 ∉ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5751, 56sylibr 235 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝐵 ∉ ℙ)
5857rexlimdva2 3284 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
593, 58sylbid 241 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079  wcel 2105  wnel 3120  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  2c2 11680  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  cdvds 15595   gcd cgcd 15831  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  16381
  Copyright terms: Public domain W3C validator