Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ncvr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvr1 34036
Description: No element covers the lattice unit. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvr1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ncvr1.u 1 = (1.‘𝐾)
ncvr1.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ncvr1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Proof of Theorem ncvr1
StepHypRef Expression
1 ncvr1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2621 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 ncvr1.u . . . 4 1 = (1.‘𝐾)
41, 2, 3ople1 33955 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾) 1 )
5 opposet 33945 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
65ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
71, 3op1cl 33949 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
87ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1𝐵)
9 simplr 791 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝑋𝐵)
10 simpr 477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
11 eqid 2621 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
121, 2, 11pltnle 16887 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 1𝐵𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
136, 8, 9, 10, 12syl31anc 1326 . . . 4 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
1413ex 450 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 (lt‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 ))
154, 14mt2d 131 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ¬ 1 (lt‘𝐾)𝑋)
16 simpll 789 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
177ad2antrr 761 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1𝐵)
18 simplr 791 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝑋𝐵)
19 simpr 477 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 𝐶𝑋)
20 ncvr1.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
211, 11, 20cvrlt 34034 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 1𝐵𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
2216, 17, 18, 19, 21syl31anc 1326 . 2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
2315, 22mtand 690 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  Posetcpo 16861  ltcplt 16862  1.cp1 16959  OPcops 33936  ccvr 34026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-p1 16961  df-oposet 33940  df-covers 34030
This theorem is referenced by:  lhp2lt  34764
  Copyright terms: Public domain W3C validator