Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ncvr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvr1 34036
 Description: No element covers the lattice unit. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvr1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ncvr1.u 1 = (1.‘𝐾)
ncvr1.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ncvr1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Proof of Theorem ncvr1
StepHypRef Expression
1 ncvr1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2621 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 ncvr1.u . . . 4 1 = (1.‘𝐾)
41, 2, 3ople1 33955 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾) 1 )
5 opposet 33945 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
65ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
71, 3op1cl 33949 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
87ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1𝐵)
9 simplr 791 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝑋𝐵)
10 simpr 477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
11 eqid 2621 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
121, 2, 11pltnle 16887 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 1𝐵𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
136, 8, 9, 10, 12syl31anc 1326 . . . 4 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
1413ex 450 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 (lt‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 ))
154, 14mt2d 131 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ¬ 1 (lt‘𝐾)𝑋)
16 simpll 789 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
177ad2antrr 761 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1𝐵)
18 simplr 791 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝑋𝐵)
19 simpr 477 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 𝐶𝑋)
20 ncvr1.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
211, 11, 20cvrlt 34034 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 1𝐵𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
2216, 17, 18, 19, 21syl31anc 1326 . 2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
2315, 22mtand 690 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  Posetcpo 16861  ltcplt 16862  1.cp1 16959  OPcops 33936   ⋖ ccvr 34026 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-p1 16961  df-oposet 33940  df-covers 34030 This theorem is referenced by:  lhp2lt  34764
 Copyright terms: Public domain W3C validator