Theorem ncvr1 36410

Description: No element covers the lattice unit. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ncvr1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ncvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ncvr1	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Proof of Theorem ncvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncvr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ncvr1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	ople1 36329	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾) 1 )
5		opposet 36319	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
6	5	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
7	1, 3	op1cl 36323	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
8	7	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 ∈ 𝐵)
9		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
11		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
12	1, 2, 11	pltnle 17578	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
13	6, 8, 9, 10, 12	syl31anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
14	13	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 (lt‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 ))
15	4, 14	mt2d 138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 (lt‘𝐾)𝑋)
16		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
17	7	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 ∈ 𝐵)
18		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19		simpr 487	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 𝐶𝑋)
20		ncvr1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
21	1, 11, 20	cvrlt 36408	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
22	16, 17, 18, 19, 21	syl31anc 1369	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
23	15, 22	mtand 814	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  lecple 16574  Posetcpo 17552  ltcplt 17553  1.cp1 17650  OPcops 36310   ⋖ ccvr 36400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-p1 17652  df-oposet 36314  df-covers 36404

This theorem is referenced by:  lhp2lt  37139