Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvs1 22897
 Description: From any nonzero vector, construct a vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvs1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvs1.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvs1.z 0 = (0g𝐺)
ncvs1.s · = ( ·𝑠𝐺)
ncvs1.f 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
ncvs1.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ncvs1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem ncvs1
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2 simp3 1061 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾)
3 elin 3780 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
4 nvcnlm 22440 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
5 nlmngp 22421 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
83, 7sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
9 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐴0 ) → 𝐴𝑋)
108, 9anim12i 589 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋))
11 ncvs1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
12 ncvs1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝐺)
1311, 12nmcl 22360 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
15 ncvs1.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
1611, 12, 15nmeq0 22362 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1716bicomd 213 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁𝐴) = 0))
188, 17sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁𝐴) = 0))
1918necon3bid 2834 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ (𝑁𝐴) ≠ 0))
2019biimpd 219 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 → (𝑁𝐴) ≠ 0))
2120impr 648 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
2214, 21rereccld 10812 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ)
23223adant3 1079 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ)
242, 23elind 3782 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ))
25 1re 9999 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 0le1 10511 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2725, 26pm3.2i 471 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
29 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → 𝐴0 )
3011, 12, 15nmgt0 22374 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
3110, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
3229, 31mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → 0 < (𝑁𝐴))
3328, 14, 32jca32 557 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))))
34333adant3 1079 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))))
35 divge0 10852 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
37 simp2l 1085 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐴𝑋)
38 ncvs1.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝐺)
39 ncvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
40 ncvs1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
4111, 12, 38, 39, 40ncvsge0 22893 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ ((1 / (𝑁𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴))) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
421, 24, 36, 37, 41syl121anc 1328 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
43103adant3 1079 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋))
4443, 13syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
4544recnd 10028 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
46213adant3 1079 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
4745, 46recid2d 10757 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)) = 1)
4842, 47eqtrd 2655 1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∩ cin 3559   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901   < clt 10034   ≤ cle 10035   / cdiv 10644  Basecbs 15800  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  0gc0g 16040  normcnm 22321  NrmGrpcngp 22322  NrmModcnlm 22325  NrmVeccnvc 22326  ℂVecccvs 22863 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-0g 16042  df-topgen 16044  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-subg 17531  df-cmn 18135  df-mgp 18430  df-ring 18489  df-cring 18490  df-subrg 18718  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-xms 22065  df-ms 22066  df-nm 22327  df-ngp 22328  df-nlm 22331  df-nvc 22332  df-clm 22803  df-cvs 22864 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator