Theorem ncvs1 23760

Description: From any nonzero vector of a normed subcomplex vector space, construct a collinear vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvs1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvs1.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvs1.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ncvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
ncvs1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
ncvs1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ncvs1	⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem ncvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2		simp3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾)
3		elin 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
4		nvcnlm 23304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
5		nlmngp 23285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
7	6	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
8	3, 7	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
9		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10	8, 9	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
11		ncvs1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
12		ncvs1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
13	11, 12	nmcl 23224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
14	10, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
15		ncvs1.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	11, 12, 15	nmeq0 23226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
17	16	bicomd 225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
18	8, 17	sylan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
19	18	necon3bid 3060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑁‘𝐴) ≠ 0))
20	19	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 → (𝑁‘𝐴) ≠ 0))
21	20	impr 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
22	14, 21	rereccld 11466	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ ℝ)
23	22	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ ℝ)
24	2, 23	elind 4170	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ))
25		1re 10640	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 11162	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
27	25, 26	pm3.2i 473	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
29		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → 𝐴 ≠ 0 )
30	11, 12, 15	nmgt0 23238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
31	10, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
32	29, 31	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → 0 < (𝑁‘𝐴))
33	28, 14, 32	jca32 518	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))))
34	33	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))))
35		divge0 11508	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
37		simp2l 1195	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝑋)
38		ncvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
39		ncvs1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
40		ncvs1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
41	11, 12, 38, 39, 40	ncvsge0 23756	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ ((1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)))
42	1, 24, 36, 37, 41	syl121anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)))
43	10	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
44	43, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	recnd 10668	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
46	21	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
47	45, 46	recid2d 11411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)) = 1)
48	42, 47	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∩ cin 3934   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541   < clt 10674   ≤ cle 10675   / cdiv 11296  Basecbs 16482  Scalarcsca 16567   ·_𝑠 cvsca 16568  0_gc0g 16712  normcnm 23185  NrmGrpcngp 23186  NrmModcnlm 23189  NrmVeccnvc 23190  ℂVecccvs 23726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-fz 12892  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-0g 16714  df-topgen 16716  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-subg 18275  df-cmn 18907  df-mgp 19239  df-ring 19298  df-cring 19299  df-subrg 19532  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-xms 22929  df-ms 22930  df-nm 23191  df-ngp 23192  df-nlm 23195  df-nvc 23196  df-clm 23666  df-cvs 23727

This theorem is referenced by: (None)