Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvspds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvspds 22942
 Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed subcomplex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 13-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvspds.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvspds.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvspds.p + = (+g𝐺)
ncvspds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
ncvspds.s · = ( ·𝑠𝐺)
Assertion
Ref Expression
ncvspds ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))

Proof of Theorem ncvspds
StepHypRef Expression
1 elin 3788 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
2 nvcnlm 22481 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
3 nlmngp 22462 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
54adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
61, 5sylbi 207 . . 3 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
7 ncvspds.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
8 ncvspds.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
9 eqid 2620 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
10 ncvspds.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
117, 8, 9, 10ngpds 22389 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
126, 11syl3an1 1357 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
13 id 22 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂVec)
1413cvsclm 22907 . . . . 5 (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂMod)
151, 14simplbiim 658 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ ℂMod)
16 ncvspds.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
17 eqid 2620 . . . . 5 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
18 ncvspds.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐺)
198, 16, 9, 17, 18clmvsubval 22890 . . . 4 ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2015, 19syl3an1 1357 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2120fveq2d 6182 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
2212, 21eqtrd 2654 1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ∩ cin 3566  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  1c1 9922  -cneg 10252  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  Scalarcsca 15925   ·𝑠 cvsca 15926  distcds 15931  -gcsg 17405  normcnm 22362  NrmGrpcngp 22363  NrmModcnlm 22366  NrmVeccnvc 22367  ℂModcclm 22843  ℂVecccvs 22904 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-topgen 16085  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-cmn 18176  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-xms 22106  df-ms 22107  df-nm 22368  df-ngp 22369  df-nlm 22372  df-nvc 22373  df-clm 22844  df-cvs 22905 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator