Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvsprp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvsprp 22892
 Description: Proportionality property of the norm of a scalar product in a normed subcomplex vector space. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s · = ( ·𝑠𝑊)
ncvsprp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvsprp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ncvsprp ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem ncvsprp
StepHypRef Expression
1 elin 3780 . . . 4 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2 nvcnlm 22440 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
32adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmMod)
41, 3sylbi 207 . . 3 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmMod)
5 ncvsprp.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 ncvsprp.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
7 ncvsprp.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
8 ncvsprp.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9 ncvsprp.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 eqid 2621 . . . 4 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
115, 6, 7, 8, 9, 10nmvs 22420 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
124, 11syl3an1 1356 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
13 id 22 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
1413cvsclm 22866 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
151, 14simplbiim 658 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
168, 9clmabs 22823 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
1715, 16sylan 488 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
18173adant3 1079 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
1918eqcomd 2627 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) = (abs‘𝐴))
2019oveq1d 6630 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
2112, 20eqtrd 2655 1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3559  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   · cmul 9901  abscabs 13924  Basecbs 15800  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  normcnm 22321  NrmModcnlm 22325  NrmVeccnvc 22326  ℂModcclm 22802  ℂVecccvs 22863 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-subg 17531  df-cmn 18135  df-mgp 18430  df-ring 18489  df-cring 18490  df-subrg 18718  df-cnfld 19687  df-nm 22327  df-nlm 22331  df-nvc 22332  df-clm 22803  df-cvs 22864 This theorem is referenced by:  ncvsge0  22893  ncvsm1  22894  ncvspi  22896
 Copyright terms: Public domain W3C validator