Theorem nd2 4919

Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
nd2	⊢ (∀x x = y → ¬ ∀x z ∈ y)

Proof of Theorem nd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4578	. . 3 ⊢ ¬ z ∈ z
2		stdpc4 1183	. . . 4 ⊢ (∀y z ∈ y → [z / y]z ∈ y)
3	1	pm2.21i 77	. . . . 5 ⊢ (z ∈ z → ∀y z ∈ z)
4		elequ2 1135	. . . . 5 ⊢ (y = z → (z ∈ y ↔ z ∈ z))
5	3, 4	sbie 1194	. . . 4 ⊢ ([z / y]z ∈ y ↔ z ∈ z)
6	2, 5	sylib 198	. . 3 ⊢ (∀y z ∈ y → z ∈ z)
7	1, 6	mto 106	. 2 ⊢ ¬ ∀y z ∈ y
8		ax-10o 1138	. 2 ⊢ (∀x x = y → (∀x z ∈ y → ∀y z ∈ y))
9	7, 8	mtoi 107	1 ⊢ (∀x x = y → ¬ ∀x z ∈ y)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  [wsbc 1168

This theorem is referenced by:  axrepnd 4926  axpownd 4933  axinfndlem1 4937  axacndlem4 4942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-reg 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409

Copyright terms: Public domain