Theorem ndmord 4042

Description: Elimination of redundant antecedents in an ordering law.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	⊢ B ∈ V
ndmopr.2	⊢ dom F = (S × S)
ndmord.3	⊢ A ∈ V
ndmord.4	⊢ R ⊆ (S × S)
ndmord.5	⊢ ¬ ∅ ∈ S
ndmord.6	⊢ ((A ∈ S ⋀ B ∈ S ⋀ C ∈ S) → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))

Assertion

Ref	Expression
ndmord	⊢ (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))

Proof of Theorem ndmord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmord.6	. . 3 ⊢ ((A ∈ S ⋀ B ∈ S ⋀ C ∈ S) → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))
2	1	3expia 834	. 2 ⊢ ((A ∈ S ⋀ B ∈ S) → (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB))))
3		ndmopr.1	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
4		ndmord.4	. . . . 5 ⊢ R ⊆ (S × S)
5	3, 4	brel 3218	. . . 4 ⊢ (ARB → (A ∈ S ⋀ B ∈ S))
6		oprex 3974	. . . . . 6 ⊢ (CFB) ∈ V
7	6, 4	brel 3218	. . . . 5 ⊢ ((CFA)R(CFB) → ((CFA) ∈ S ⋀ (CFB) ∈ S))
8		ndmord.3	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ V
9		ndmopr.2	. . . . . . . 8 ⊢ dom F = (S × S)
10		ndmord.5	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ S
11	8, 9, 10	ndmoprrcl 4038	. . . . . . 7 ⊢ ((CFA) ∈ S → (C ∈ S ⋀ A ∈ S))
12	11	pm3.27d 325	. . . . . 6 ⊢ ((CFA) ∈ S → A ∈ S)
13	3, 9, 10	ndmoprrcl 4038	. . . . . . 7 ⊢ ((CFB) ∈ S → (C ∈ S ⋀ B ∈ S))
14	13	pm3.27d 325	. . . . . 6 ⊢ ((CFB) ∈ S → B ∈ S)
15	12, 14	anim12i 333	. . . . 5 ⊢ (((CFA) ∈ S ⋀ (CFB) ∈ S) → (A ∈ S ⋀ B ∈ S))
16	7, 15	syl 10	. . . 4 ⊢ ((CFA)R(CFB) → (A ∈ S ⋀ B ∈ S))
17	5, 16	pm5.21ni 677	. . 3 ⊢ (¬ (A ∈ S ⋀ B ∈ S) → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))
18	17	a1d 12	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ S ⋀ B ∈ S) → (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB))))
19	2, 18	pm2.61i 126	1 ⊢ (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 774   = wceq 954   ∈ wcel 956  Vcvv 1807   ⊆ wss 2043  ∅c0 2276   class class class wbr 2614   × cxp 3163  dom cdm 3165  (class class class)co 3954

This theorem is referenced by:  ltapi 5010  ltmpi 5011  ltapq 5056  ltmpq 5057  ltapr 5131  ltasr 5189

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fv 3193  df-opr 3956

Copyright terms: Public domain