Theorem ndmov 7334

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7333	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 688	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∅c0 4293   × cxp 5555  dom cdm 5557  (class class class)co 7158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-dm 5567  df-iota 6316  df-fv 6365  df-ov 7161

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7335  ndmovrcl  7336  ndmovcom  7337  ndmovass  7338  ndmovdistr  7339  om0x  8146  oaabs2  8274  omabs  8276  eceqoveq  8404  elpmi  8427  elmapex  8429  pmresg  8436  pmsspw  8443  addnidpi  10325  adderpq  10380  mulerpq  10381  elixx3g  12754  ndmioo  12768  elfz2  12902  fz0  12925  elfzoel1  13039  elfzoel2  13040  fzoval  13042  fzofi  13345  restsspw  16707  fucbas  17232  fuchom  17233  xpcbas  17430  xpchomfval  17431  xpccofval  17434  restrcl  21767  ssrest  21786  resstopn  21796  iocpnfordt  21825  icomnfordt  21826  nghmfval  23333  isnghm  23334  topnfbey  28250  cvmtop1  32509  cvmtop2  32510  ndmico  41849