MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndvdsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ndvdsadd 15053
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 + 1, 𝑁 + 2... 𝑁 + (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdsadd ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdsadd
StepHypRef Expression
1 nnre 10972 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 nnre 10972 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
3 posdif 10466 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐾)))
41, 2, 3syl2anr 495 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐾)))
54pm5.32i 668 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) ↔ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷𝐾)))
6 nnz 11344 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
7 nnz 11344 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
8 zsubcl 11364 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷𝐾) ∈ ℤ)
96, 7, 8syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷𝐾) ∈ ℤ)
10 elnnz 11332 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ↔ ((𝐷𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷𝐾)))
1110biimpri 218 . . . . . . . 8 (((𝐷𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷𝐾)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
129, 11sylan 488 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷𝐾)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
135, 12sylbi 207 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
1413anasss 678 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
15 nngt0 10994 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
16 ltsubpos 10465 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷𝐾) < 𝐷))
171, 2, 16syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷𝐾) < 𝐷))
1817biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 → (𝐷𝐾) < 𝐷))
1918expcom 451 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐷𝐾) < 𝐷)))
2015, 19mpdi 45 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐷𝐾) < 𝐷))
2120imp 445 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷𝐾) < 𝐷)
2221adantrr 752 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝐾) < 𝐷)
2314, 22jca 554 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷))
24233adant1 1077 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷))
25 ndvdssub 15052 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
2624, 25syld3an3 1368 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
27 zaddcl 11362 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
287, 27sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
29 dvdssubr 14946 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
306, 28, 29syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
3130an12s 842 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
32313impb 1257 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
33 zcn 11327 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34 nncn 10973 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
35 nncn 10973 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
36 subsub3 10258 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝐷𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
3733, 34, 35, 36syl3an 1365 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐷𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
3837breq2d 4630 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾)) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
3932, 38bitr4d 271 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
4039notbid 308 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
41403adant3r 1320 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
4226, 41sylibrd 249 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884   < clt 10019  cmin 10211  cn 10965  cz 11322  cdvds 14902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903
This theorem is referenced by:  ndvdsp1  15054  ndvdsi  15055
  Copyright terms: Public domain W3C validator