Theorem ndxarg 15664

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 15649. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 15647	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 10876	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 6972	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7	5, 6	strfvn 15661	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
8	1	fveq1i 6089	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
9		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		fvresi 6322	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	7, 8, 11	3eqtri 2636	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   I cid 4938   ↾ cres 5030  ‘cfv 5790  ℕcn 10870  ndxcnx 15641  Slot cslot 15643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-nn 10871  df-ndx 15647  df-slot 15648

This theorem is referenced by:  ndxid  15665  basendx  15700  basendxnn  15701  resslem  15709  plusgndx  15752  2strstr  15758  2strstr1  15761  2strop1  15763  mulrndx  15770  starvndx  15776  scandx  15785  vscandx  15787  ipndx  15794  tsetndx  15812  plendx  15819  plendxOLD  15820  ocndx  15832  dsndx  15834  unifndx  15836  homndx  15846  ccondx  15848  slotsbhcdif  15852  oppglem  17552  mgplem  18266  opprlem  18400  sralem  18947  opsrbaslem  19247  opsrbaslemOLD  19248  zlmlem  19632  znbaslem  19653  znbaslemOLD  19654  tnglem  22202  itvndx  25084  lngndx  25085  ttglem  25502  cchhllem  25513  resvlem  28956  hlhilslem  36042  edgfndxnn  40217  baseltedgf  40219  basendxnmulrndx  41736