Theorem ndxarg 15929

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 15910. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 15907	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 11064	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 7144	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2726	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7	5, 6	strfvn 15926	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
8	1	fveq1i 6230	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
9		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		fvresi 6480	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	7, 8, 11	3eqtri 2677	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   I cid 5052   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  ℕcn 11058  ndxcnx 15901  Slot cslot 15903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-ndx 15907  df-slot 15908

This theorem is referenced by:  ndxid  15930  ndxidOLD  15931  basendx  15970  basendxnn  15971  resslem  15980  plusgndx  16023  2strstr  16030  2strstr1  16033  2strop1  16035  basendxnplusgndx  16036  mulrndx  16043  basendxnmulrndx  16046  starvndx  16051  scandx  16060  vscandx  16062  ipndx  16069  tsetndx  16087  plendx  16094  plendxOLD  16095  ocndx  16107  dsndx  16109  unifndx  16111  homndx  16121  ccondx  16123  slotsbhcdif  16127  oppglem  17826  mgplem  18540  opprlem  18674  rmodislmod  18979  sralem  19225  opsrbaslem  19525  opsrbaslemOLD  19526  zlmlem  19913  znbaslem  19934  znbaslemOLD  19935  tnglem  22491  itvndx  25384  lngndx  25385  ttglem  25801  cchhllem  25812  edgfndxnn  25915  baseltedgf  25917  resvlem  29959  hlhilslem  37547