Theorem ndxarg 16510

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 16491. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 16488	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 11646	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 7621	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2911	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7	5, 6	strfvn 16507	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
8	1	fveq1i 6673	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
9		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		fvresi 6937	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	7, 8, 11	3eqtri 2850	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   I cid 5461   ↾ cres 5559  ‘cfv 6357  ℕcn 11640  ndxcnx 16482  Slot cslot 16484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-1cn 10597  ax-addcl 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-nn 11641  df-ndx 16488  df-slot 16489

This theorem is referenced by:  ndxid  16511  basendx  16549  basendxnn  16550  resslem  16559  plusgndx  16597  2strstr  16604  2strstr1  16607  2strop1  16609  basendxnplusgndx  16610  mulrndx  16617  basendxnmulrndx  16620  starvndx  16625  scandx  16634  vscandx  16636  ipndx  16643  tsetndx  16661  plendx  16668  ocndx  16675  dsndx  16677  unifndx  16679  homndx  16689  ccondx  16691  slotsbhcdif  16695  oppglem  18480  symgvalstruct  18527  mgplem  19246  opprlem  19380  rmodislmod  19704  sralem  19951  opsrbaslem  20260  zlmlem  20666  znbaslem  20687  tnglem  23251  itvndx  26228  lngndx  26229  ttglem  26664  cchhllem  26675  edgfndxnn  26779  baseltedgf  26781  resvlem  30906  hlhilslem  39076