MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ne0gt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ne0gt0d 10134
Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ne0gt0d.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
ne0gt0d.3 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
ne0gt0d (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem ne0gt0d
StepHypRef Expression
1 ne0gt0d.3 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ne0gt0d.2 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4 ne0gt0 10102 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
52, 3, 4syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
61, 5mpbid 222 1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cr 9895  0cc0 9896   < clt 10034  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040
This theorem is referenced by:  sqrtgt0  13949  absrpcl  13978  sqreulem  14049  efgt0  14777  abvgt0  18768  nmrpcl  22364  lebnumlem1  22700  ipcau2  22973  recxpcl  24355  mulcxp  24365  rlimcnp  24626  lgsdilem  24983  pntleml  25234  ttgcontlem1  25699  axsegconlem6  25736  axpaschlem  25754  axcontlem2  25779  axcontlem4  25781  axcontlem7  25784  xrge0iifhom  29807  cndprobprob  30323  tan2h  33072  dvasin  33167  radcnvrat  38034  ioodvbdlimc1lem2  39484  ioodvbdlimc2lem  39486  fourierdlem30  39691  fourierdlem48  39708  fourierdlem49  39709  fourierdlem54  39714  fourierdlem102  39762  fourierdlem114  39774  sqwvfoura  39782
  Copyright terms: Public domain W3C validator