MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ne0p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ne0p 23862
Description: A test to show that a polynomial is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ne0p ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) ≠ 0) → 𝐹 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem ne0p
StepHypRef Expression
1 0pval 23339 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝𝐴) = 0)
2 fveq1 6149 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝 → (𝐹𝐴) = (0𝑝𝐴))
32eqeq1d 2628 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝 → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ (0𝑝𝐴) = 0))
41, 3syl5ibrcom 237 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 = 0𝑝 → (𝐹𝐴) = 0))
54necon3d 2817 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹𝐴) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝))
65imp 445 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) ≠ 0) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cfv 5850  cc 9879  0cc0 9881  0𝑝c0p 23337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-mulcl 9943  ax-i2m1 9949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-fv 5858  df-0p 23338
This theorem is referenced by:  dgrmulc  23926  qaa  23977  iaa  23979  aareccl  23980  dchrfi  24875
  Copyright terms: Public domain W3C validator