MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neg1z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neg1z 11603
Description: -1 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 5-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
neg1z -1 ∈ ℤ

Proof of Theorem neg1z
StepHypRef Expression
1 1nn 11221 . 2 1 ∈ ℕ
2 nnnegz 11570 . 2 (1 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
31, 2ax-mp 5 1 -1 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2137  1c1 10127  -cneg 10457  cn 11210  cz 11567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-ltxr 10269  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-z 11568
This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  12935  m1expcl  13075  risefall0lem  14954  binomfallfaclem2  14968  nthruz  15179  n2dvdsm1  15305  bitsfzo  15357  bezoutlem1  15456  pythagtriplem4  15724  odinv  18176  zrhpsgnmhm  20130  zrhpsgnelbas  20140  m2detleiblem1  20630  clmneg1  23080  plyeq0lem  24163  aaliou3lem2  24295  dvradcnv  24372  efif1olem2  24486  ang180lem3  24738  wilthimp  24995  muf  25063  ppiub  25126  lgslem2  25220  lgsfcl2  25225  lgsval2lem  25229  lgsdir2lem3  25249  lgsdir2lem4  25250  gausslemma2dlem5a  25292  gausslemma2dlem7  25295  gausslemma2d  25296  lgseisenlem2  25298  lgseisenlem4  25300  m1lgs  25310  2sqlem11  25351  2sqblem  25353  ostth3  25524  archirngz  30050  mdetpmtr1  30196  mdetpmtr12  30198  qqhval2lem  30332  bcneg1  31927  mzpsubmpt  37806  rmxm1  37999  rmym1  38000  dvradcnv2  39046  binomcxplemnotnn0  39055  cosnegpi  40579  fourierdlem24  40849  fmtnoprmfac1lem  41984  2pwp1prm  42011  lighneallem4b  42034  lighneallem4  42035  modexp2m1d  42037  41prothprmlem2  42043
  Copyright terms: Public domain W3C validator