MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negcl 10874
Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
negcl (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl
StepHypRef Expression
1 df-neg 10861 . 2 -𝐴 = (0 − 𝐴)
2 0cn 10621 . . 3 0 ∈ ℂ
3 subcl 10873 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
42, 3mpan 686 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
51, 4eqeltrid 2914 1 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  cmin 10858  -cneg 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  negicn  10875  negcon1  10926  negdi  10931  negdi2  10932  negsubdi2  10933  neg2sub  10934  negcli  10942  negcld  10972  mulneg2  11065  mul2neg  11067  mulsub  11071  divneg  11320  divsubdir  11322  divsubdiv  11344  eqneg  11348  div2neg  11351  divneg2  11352  zeo  12056  sqneg  13470  binom2sub  13569  shftval4  14424  shftcan1  14430  shftcan2  14431  crim  14462  resub  14474  imsub  14482  cjneg  14494  cjsub  14496  absneg  14625  abs2dif2  14681  sqreulem  14707  sqreu  14708  subcn2  14939  risefallfac  15366  fallrisefac  15367  fallfac0  15370  binomrisefac  15384  efcan  15437  efne0  15438  efneg  15439  efsub  15441  sinneg  15487  cosneg  15488  tanneg  15489  efmival  15494  sinhval  15495  coshval  15496  sinsub  15509  cossub  15510  sincossq  15517  cnaddablx  18917  cnaddabl  18918  cnaddinv  18920  cncrng  20494  cnfldneg  20499  cnlmod  23671  cnstrcvs  23672  cncvs  23676  plyremlem  24820  reeff1o  24962  sin2pim  24998  cos2pim  24999  cxpsub  25192  cxpsqrt  25213  logrec  25268  asinlem3  25376  asinneg  25391  acosneg  25392  sinasin  25394  asinsin  25397  cosasin  25409  atantan  25428  cnaddabloOLD  28285  hvsubdistr2  28754  spanunsni  29283  ltflcei  34761  dvasin  34859  sub2times  41416  cosknegpi  42026  etransclem18  42414  etransclem46  42442  addsubeq0  43373  altgsumbcALT  44329  1subrec1sub  44620  sinhpcosh  44767
  Copyright terms: Public domain W3C validator