MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negcl 10132
Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
negcl (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl
StepHypRef Expression
1 df-neg 10120 . 2 -𝐴 = (0 − 𝐴)
2 0cn 9888 . . 3 0 ∈ ℂ
3 subcl 10131 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
42, 3mpan 701 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
51, 4syl5eqel 2691 1 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6526  cc 9790  0cc0 9792  cmin 10117  -cneg 10118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119  df-neg 10120
This theorem is referenced by:  negicn  10133  negcon1  10184  negdi  10189  negdi2  10190  negsubdi2  10191  neg2sub  10192  negcli  10200  negcld  10230  mulneg2  10318  mul2neg  10320  mulsub  10324  divneg  10570  divsubdir  10572  divsubdiv  10592  eqneg  10596  div2neg  10599  divneg2  10600  zeo  11297  sqneg  12742  binom2sub  12800  shftval4  13613  shftcan1  13619  shftcan2  13620  crim  13651  resub  13663  imsub  13671  cjneg  13683  cjsub  13685  absneg  13813  abs2dif2  13869  sqreulem  13895  sqreu  13896  subcn2  14121  risefallfac  14542  fallrisefac  14543  fallfac0  14546  binomrisefac  14560  efcan  14613  efne0  14614  efneg  14615  efsub  14617  sinneg  14663  cosneg  14664  tanneg  14665  efmival  14670  sinhval  14671  coshval  14672  sinsub  14685  cossub  14686  sincossq  14693  cnaddablx  18042  cnaddabl  18043  cnaddinv  18045  cncrng  19534  cnfldneg  19539  cnlmod  22695  cnstrcvs  22696  cncvs  22700  plyremlem  23807  reeff1o  23949  sin2pim  23985  cos2pim  23986  cxpsub  24172  cxpsqrt  24193  logrec  24245  asinlem3  24342  asinneg  24357  acosneg  24358  sinasin  24360  asinsin  24363  cosasin  24375  atantan  24394  ex-exp  26492  cnaddabloOLD  26613  hvsubdistr2  27084  spanunsni  27615  ltflcei  32350  dvasin  32449  sub2times  38209  cosknegpi  38535  etransclem18  38928  etransclem46  38956  altgsumbcALT  41905  sinhpcosh  42222
  Copyright terms: Public domain W3C validator