MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negcld 10227
Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negcld (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 negcl 10129 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  cc 9787  -cneg 10115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932  df-sub 10116  df-neg 10117
This theorem is referenced by:  negcon1ad  10235  recextlem1  10503  mul2lt0rlt0  11761  xov1plusxeqvd  12142  ceim1l  12460  modnegd  12539  expaddzlem  12717  cjreb  13654  sqrtneg  13799  max0add  13841  iseraltlem2  14204  iseraltlem3  14205  fsumsub  14305  telfsumo2  14319  incexc  14351  incexc2  14352  fallrisefac  14538  binomrisefac  14555  efi4p  14649  oexpneg  14850  bitscmp  14941  bitsf1  14949  pcadd2  15375  gznegcl  15420  mulgdirlem  17338  mulgdir  17339  znunit  19673  cphsqrtcl2  22715  pjthlem1  22930  mbfsub  23149  iblcnlem1  23274  itgcnlem  23276  iblneg  23289  itgneg  23290  iblsub  23308  itgsub  23312  ditgcl  23342  dvrec  23438  dvmptsub  23450  dvsincos  23462  rolle  23471  vieta1lem2  23784  vieta1  23785  sinmpi  23957  cosmpi  23958  sinppi  23959  cosppi  23960  tanabsge  23976  efeq1  23993  tanord  24002  logtayl  24120  logtayl2  24122  logccv  24123  cxpneg  24141  cxpmul2z  24151  logreclem  24214  cosangneg2d  24251  isosctrlem2  24263  isosctrlem3  24264  angpieqvdlem  24269  quad2  24280  dcubic1lem  24284  dcubic2  24285  dcubic  24287  mcubic  24288  dquartlem1  24292  dquartlem2  24293  dquart  24294  quartlem1  24298  quartlem2  24299  quartlem3  24300  quartlem4  24301  quart  24302  asinlem  24309  asinlem2  24310  asinneg  24327  sinasin  24330  cosasin  24345  atandmneg  24347  tanatan  24360  atandmtan  24361  atantan  24364  atantayl  24378  zetacvg  24455  dmgmaddnn0  24467  lgamgulmlem2  24470  lgamgulmlem4  24472  lgambdd  24477  lgamucov  24478  ftalem4  24516  ftalem5  24517  ftalem7  24519  basellem5  24525  chpdifbndlem1  24956  padicabvcxp  25035  brbtwn2  25500  ipasslem2  26874  pjhthlem1  27437  divnumden2  28754  archirngz  28877  madjusmdetlem4  29027  poimirlem29  32408  dvtan  32430  itg2addnclem3  32433  iblsubnc  32441  itgsubnc  32442  itgmulc2nc  32448  ftc1anclem5  32459  ftc1anclem8  32462  dvasin  32466  areacirclem1  32470  pell1234qrreccl  36236  pell14qrdich  36251  rmxyneg  36303  acongsym  36361  jm2.26a  36385  jm2.26lem3  36386  expgrowth  37356  binomcxplemdvbinom  37374  binomcxplemnotnn0  37377  sineq0ALT  37995  fzisoeu  38255  fperiodmul  38259  isumneg  38470  climneg  38478  neglimc  38515  sublimc  38520  reclimc  38521  dvcosre  38600  dvrecg  38601  dvmptdiv  38608  dvcosax  38617  itgsin0pilem1  38642  itgsinexplem1  38646  itgsincmulx  38667  stoweidlem13  38707  stirlinglem5  38772  dirkertrigeqlem3  38794  fourierdlem30  38831  fourierdlem39  38840  fourierdlem40  38841  fourierdlem41  38842  fourierdlem43  38844  fourierdlem47  38847  fourierdlem48  38848  fourierdlem49  38849  fourierdlem73  38873  fourierdlem78  38878  fourierdlem92  38892  fourierdlem101  38901  fourierdlem103  38903  fourierdlem111  38911  sqwvfoura  38922  fouriersw  38925  etransclem17  38945  etransclem18  38946  etransclem23  38951  etransclem46  38974  sigarms  39495  sigaradd  39505  oexpnegALTV  39928  oexpnegnz  39929  2zrngagrp  41732  altgsumbc  41922  dignn0flhalflem1  42206  amgmwlem  42317
  Copyright terms: Public domain W3C validator