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Theorem negfi 10956
Description: The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
negfi ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem negfi
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3589 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2 renegcl 10329 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
31, 2syl6 35 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 → -𝑎 ∈ ℝ))
43imp 445 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → -𝑎 ∈ ℝ)
54ralrimiva 2963 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑎𝐴 -𝑎 ∈ ℝ)
6 dmmptg 5620 . . . . . . 7 (∀𝑎𝐴 -𝑎 ∈ ℝ → dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
87eqcomd 2626 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 = dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎))
98eleq1d 2684 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
10 funmpt 5914 . . . . 5 Fun (𝑎𝐴 ↦ -𝑎)
11 fundmfibi 8230 . . . . 5 (Fun (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
1210, 11mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
139, 12bitr4d 271 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
14 reex 10012 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1514ssex 4793 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
16 mptexg 6469 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
18 eqid 2620 . . . . . 6 (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = (𝑎𝐴 ↦ -𝑎)
1918negf1o 10445 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
20 f1of1 6123 . . . . 5 ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
22 f1vrnfibi 8236 . . . 4 (((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V ∧ (𝑎𝐴 ↦ -𝑎):𝐴1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}) → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
2317, 21, 22syl2anc 692 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
241imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
252adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -𝑎 ∈ ℝ)
26 recn 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
2726negnegd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
2827eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 = --𝑎)
2928eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
3029biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝐴 → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎𝐴))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎𝐴))
3231imp 445 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → --𝑎𝐴)
3325, 32jca 554 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴))
3424, 33mpdan 701 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴))
35 eleq1 2687 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ↔ -𝑎 ∈ ℝ))
36 negeq 10258 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = -𝑎 → -𝑛 = --𝑎)
3736eleq1d 2684 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑎 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑎𝐴))
3835, 37anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑛 = -𝑎 → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝐴)))
3934, 38syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎𝐴) → (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
4039rexlimdva 3027 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
41 simprr 795 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → -𝑛𝐴)
42 negeq 10258 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = -𝑛 → -𝑎 = --𝑛)
4342eqeq2d 2630 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = -𝑛 → (𝑛 = -𝑎𝑛 = --𝑛))
4443adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) ∧ 𝑎 = -𝑛) → (𝑛 = -𝑎𝑛 = --𝑛))
45 recn 10011 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ ℂ)
46 negneg 10316 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → --𝑛 = 𝑛)
4746eqcomd 2626 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 = --𝑛)
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 = --𝑛)
4948ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → 𝑛 = --𝑛)
5041, 44, 49rspcedvd 3312 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)) → ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎)
5150ex 450 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) → ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎))
5240, 51impbid 202 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎 ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)))
5352abbidv 2739 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑛 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)})
5418rnmpt 5360 . . . . 5 ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑛 = -𝑎}
55 df-rab 2918 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴)}
5653, 54, 553eqtr4g 2679 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
5756eleq1d 2684 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (ran (𝑎𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin))
5813, 23, 573bitrd 294 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin))
5958biimpa 501 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  {cab 2606  wral 2909  wrex 2910  {crab 2913  Vcvv 3195  wss 3567  cmpt 4720  dom cdm 5104  ran crn 5105  Fun wfun 5870  1-1wf1 5873  1-1-ontowf1o 5875  Fincfn 7940  cc 9919  cr 9920  -cneg 10252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253  df-neg 10254
This theorem is referenced by:  fiminre  10957
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