Theorem negnegd 10982

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 10930	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ℂcc 10529  -cneg 10865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867

This theorem is referenced by:  negn0  11063  ltnegcon1  11135  ltnegcon2  11136  lenegcon1  11138  lenegcon2  11139  negfi  11583  fiminreOLD  11584  infm3lem  11593  infrenegsup  11618  zeo  12062  zindd  12077  znnn0nn  12088  supminf  12329  zsupss  12331  max0sub  12583  xnegneg  12601  ceilid  13213  expneg  13431  expaddzlem  13466  expaddz  13467  cjcj  14493  cnpart  14593  risefallfac  15372  sincossq  15523  bitsf1  15789  pcid  16203  4sqlem10  16277  mulgnegnn  18232  mulgsubcl  18236  mulgneg  18240  mulgz  18249  mulgass  18258  ghmmulg  18364  cyggeninv  18996  tgpmulg  22695  xrhmeo  23544  cphsqrtcl3  23785  iblneg  24397  itgneg  24398  ditgswap  24451  lhop2  24606  vieta1lem2  24894  ptolemy  25076  tanabsge  25086  tanord  25116  tanregt0  25117  lognegb  25167  logtayl  25237  logtayl2  25239  cxpmul2z  25268  isosctrlem2  25391  dcubic  25418  dquart  25425  atans2  25503  amgmlem  25561  lgamucov  25609  basellem5  25656  basellem9  25660  lgsdir2lem4  25898  dchrisum0flblem1  26078  ostth3  26208  ipasslem3  28604  ftc1anclem6  34966  dffltz  39264  rexzrexnn0  39394  acongsym  39566  acongneg2  39567  acongtr  39568  binomcxplemnotnn0  40681  infnsuprnmpt  41515  ltmulneg  41657  rexabslelem  41685  supminfrnmpt  41712  leneg2d  41716  leneg3d  41726  supminfxr  41733  climliminflimsupd  42075  itgsin0pilem1  42228  itgsinexplem1  42232  itgsincmulx  42252  stoweidlem13  42292  fourierdlem39  42425  fourierdlem43  42429  fourierdlem44  42430  etransclem46  42559  hoicvr  42824  smfinflem  43085  sigariz  43114  sigaradd  43117  sqrtnegnre  43501  requad01  43780  itsclc0yqsol  44745  amgmwlem  44897