MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negnegd 10368
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negnegd (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 negneg 10316 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  cc 9919  -cneg 10252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253  df-neg 10254
This theorem is referenced by:  negn0  10444  ltnegcon1  10514  ltnegcon2  10515  lenegcon1  10517  lenegcon2  10518  negfi  10956  fiminre  10957  infm3lem  10966  infrenegsup  10991  zeo  11448  zindd  11463  znnn0nn  11474  supminf  11760  zsupss  11762  max0sub  12012  xnegneg  12030  ceilid  12633  expneg  12851  expaddzlem  12886  expaddz  12887  cjcj  13861  cnpart  13961  risefallfac  14736  sincossq  14887  bitsf1  15149  pcid  15558  4sqlem10  15632  mulgnegnn  17532  mulgsubcl  17536  mulgneg  17541  mulgz  17549  mulgass  17560  ghmmulg  17653  cyggeninv  18266  tgpmulg  21878  xrhmeo  22726  cphsqrtcl3  22968  iblneg  23550  itgneg  23551  ditgswap  23604  lhop2  23759  vieta1lem2  24047  ptolemy  24229  tanabsge  24239  tanord  24265  tanregt0  24266  lognegb  24317  logtayl  24387  logtayl2  24389  cxpmul2z  24418  isosctrlem2  24530  dcubic  24554  dquart  24561  atans2  24639  amgmlem  24697  lgamucov  24745  basellem5  24792  basellem9  24796  lgsdir2lem4  25034  dchrisum0flblem1  25178  ostth3  25308  ipasslem3  27658  ftc1anclem6  33461  rexzrexnn0  37187  acongsym  37362  acongneg2  37363  acongtr  37364  binomcxplemnotnn0  38375  infnsuprnmpt  39281  ltmulneg  39428  rexabslelem  39458  supminfrnmpt  39485  leneg2d  39489  leneg3d  39500  supminfxr  39507  climliminflimsupd  39827  itgsin0pilem1  39928  itgsinexplem1  39932  itgsincmulx  39953  stoweidlem13  39993  fourierdlem39  40126  fourierdlem43  40130  fourierdlem44  40131  etransclem46  40260  hoicvr  40525  smfinflem  40786  sigariz  40815  sigaradd  40818  amgmwlem  42313
  Copyright terms: Public domain W3C validator