Theorem negsub 10928

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10867	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 7161	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4		0cn 10627	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addsubass 10890	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
6	4, 5	mp3an2 1445	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	addid1d 10834	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2862	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   + caddc 10534   − cmin 10864  -cneg 10865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867

This theorem is referenced by:  negdi2  10938  negsubdi2  10939  resubcli  10942  resubcl  10944  negsubi  10958  negsubd  10997  submul2  11074  addneg1mul  11076  mulsub  11077  divsubdir  11328  difgtsumgt  11944  elz2  11993  zsubcl  12018  qsubcl  12361  rexsub  12620  fzsubel  12937  ceim1l  13209  modcyc2  13269  negmod  13278  modsumfzodifsn  13306  expsub  13471  binom2sub  13575  seqshft  14438  resub  14480  imsub  14488  cjsub  14502  cjreim  14513  absdiflt  14671  absdifle  14672  abs2dif2  14687  subcn2  14945  bpoly2  15405  bpoly3  15406  efsub  15447  efi4p  15484  sinsub  15515  cossub  15516  demoivreALT  15548  dvdssub  15648  modgcd  15874  gzsubcl  16270  psgnunilem2  18617  cnfldsub  20567  itg1sub  24304  plyremlem  24887  sineq0  25103  logneg2  25192  ang180lem2  25382  asinsin  25464  atanneg  25479  atancj  25482  atanlogadd  25486  atanlogsublem  25487  atanlogsub  25488  2efiatan  25490  tanatan  25491  cosatan  25493  atans2  25503  dvatan  25507  zetacvg  25586  wilthlem1  25639  wilthlem2  25640  basellem8  25659  lgsvalmod  25886  cnnvm  28453  cncph  28590  hvsubdistr2  28821  lnfnsubi  29817  subfacval2  32429  itg2addnclem3  34939  pellexlem6  39424  pell14qrdich  39459  rmxm1  39524  rmym1  39525  addsubeq0  43489  omoeALTV  43843  omeoALTV  43844  emoo  43862  emee  43864  zlmodzxzequap  44547  flsubz  44570