MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsub 10289
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 10229 . . . 4 -𝐵 = (0 − 𝐵)
21oveq2i 6626 . . 3 (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵))
32a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
4 0cn 9992 . . 3 0 ∈ ℂ
5 addsubass 10251 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
64, 5mp3an2 1409 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴 + (0 − 𝐵)))
7 simpl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
87addid1d 10196 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
98oveq1d 6630 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐵) = (𝐴𝐵))
103, 6, 93eqtr2d 2661 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896   + caddc 9899  cmin 10226  -cneg 10227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228  df-neg 10229
This theorem is referenced by:  negdi2  10299  negsubdi2  10300  resubcli  10303  resubcl  10305  negsubi  10319  negsubd  10358  submul2  10430  addneg1mul  10432  mulsub  10433  divsubdir  10681  difgtsumgt  11306  elz2  11354  zsubcl  11379  qsubcl  11767  rexsub  12023  fzsubel  12335  ceim1l  12602  modcyc2  12662  negmod  12671  modsumfzodifsn  12699  expsub  12864  binom2sub  12937  seqshft  13775  resub  13817  imsub  13825  cjsub  13839  cjreim  13850  absdiflt  14007  absdifle  14008  abs2dif2  14023  subcn2  14275  bpoly2  14732  bpoly3  14733  efsub  14774  efi4p  14811  sinsub  14842  cossub  14843  demoivreALT  14875  dvdssub  14969  modgcd  15196  gzsubcl  15587  psgnunilem2  17855  cnfldsub  19714  itg1sub  23416  plyremlem  23997  sineq0  24211  logneg2  24299  ang180lem2  24474  asinsin  24553  atanneg  24568  atancj  24571  atanlogadd  24575  atanlogsublem  24576  atanlogsub  24577  2efiatan  24579  tanatan  24580  cosatan  24582  atans2  24592  dvatan  24596  zetacvg  24675  wilthlem1  24728  wilthlem2  24729  basellem8  24748  lgsvalmod  24975  cnnvm  27425  cncph  27562  hvsubdistr2  27795  lnfnsubi  28793  subfacval2  30930  itg2addnclem3  33134  pellexlem6  36917  pell14qrdich  36952  rmxm1  37018  rmym1  37019  omoeALTV  40925  omeoALTV  40926  emoo  40942  emee  40944  zlmodzxzequap  41606  flsubz  41630
  Copyright terms: Public domain W3C validator