MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubd 10250
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negsubd (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 10181 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9791   + caddc 9796  cmin 10118  -cneg 10119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936  df-sub 10120  df-neg 10121
This theorem is referenced by:  mulsub  10325  divsubdir  10573  divsubdiv  10593  ofnegsub  10868  icoshftf1o  12125  fzosubel  12352  modsub12d  12547  expaddzlem  12723  binom2sub  12801  discr  12821  cjreb  13660  recj  13661  remullem  13665  imcj  13669  sqreulem  13896  subcn2  14122  lo1sub  14158  iseraltlem2  14210  iseraltlem3  14211  fsumshftm  14304  fsumsub  14311  incexclem  14356  incexc  14357  bpoly3  14577  efmival  14671  cosadd  14683  sinsub  14686  sincossq  14694  moddvds  14778  dvdsadd2b  14815  bitsres  14982  pythagtriplem4  15311  mulgdirlem  17344  mulgmodid  17353  mulgsubdir  17354  cnsubrg  19574  zringlpirlem3  19602  cphipval  22795  pjthlem1  22961  mbfsub  23180  mbfmulc2  23181  itg2monolem1  23268  itgcnlem  23307  iblsub  23339  itgsub  23343  itgmulc2  23351  dvmptsub  23481  dvexp3  23490  dvsincos  23493  dvlipcn  23506  ftc2  23556  aaliou3lem6  23852  logdiv2  24112  tanarg  24114  advlogexp  24146  cxpsub  24173  abscxpbnd  24239  relogbdiv  24262  isosctrlem2  24294  angpieqvdlem  24300  quad2  24311  dcubic1lem  24315  dcubic2  24316  dcubic  24318  mcubic  24319  dquartlem2  24324  dquart  24325  quart1lem  24327  quartlem1  24329  quart  24333  asinlem2  24341  cosasin  24376  atanlogsublem  24387  atantan  24395  atantayl2  24410  ftalem5  24548  basellem9  24560  lgseisenlem1  24845  2sqlem4  24891  rpvmasum2  24946  log2sumbnd  24978  chpdifbndlem1  24987  pntpbnd1  25020  axsegconlem9  25551  axeuclidlem  25588  smcnlem  26765  ipval2  26775  ipasslem2  26905  dipsubdir  26921  his2sub  27167  pjhthlem1  27468  fwddifnp1  31276  knoppndvlem2  31508  itg2gt0cn  32459  iblsubnc  32465  itgsubnc  32466  itgmulc2nc  32472  ftc1anclem8  32486  ftc2nc  32488  areacirclem1  32494  mzpsubmpt  36148  pellexlem6  36240  pell1234qrreccl  36260  pellfund14  36304  rmxyneg  36327  rmxm1  36341  rmym1  36342  congsub  36379  jm2.19lem1  36398  jm2.19lem4  36401  jm2.19  36402  jm2.26lem3  36410  sineq0ALT  38019  sub2times  38250  fzisoeu  38279  supsubc  38334  sublimc  38543  reclimc  38544  dvmptdiv  38631  itgsincmulx  38690  itgsbtaddcnst  38698  stoweidlem10  38727  stoweidlem13  38730  stoweidlem22  38739  stoweidlem23  38740  stoweidlem26  38743  stoweidlem42  38759  stoweidlem47  38764  stirlinglem5  38795  dirkertrigeqlem2  38816  fourierdlem26  38850  fourierdlem36  38860  fourierdlem40  38864  fourierdlem41  38865  fourierdlem48  38871  fourierdlem49  38872  fourierdlem64  38887  fourierdlem78  38901  fourierdlem92  38915  fourierdlem97  38920  fourierdlem101  38924  fourierdlem107  38930  etransclem17  38968  etransclem46  38997  sigarperm  39522  dignn0flhalflem1  42229
  Copyright terms: Public domain W3C validator