Theorem negsubd 10997

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 10928	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529   + caddc 10534   − cmin 10864  -cneg 10865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867

This theorem is referenced by:  mulsub  11077  mulsubaddmulsub  11098  divsubdir  11328  divsubdiv  11350  ofnegsub  11630  icoshftf1o  12854  fzosubel  13090  modsub12d  13290  expaddzlem  13466  binom2sub  13575  discr  13595  cjreb  14476  recj  14477  remullem  14481  imcj  14485  sqreulem  14713  subcn2  14945  lo1sub  14981  iseraltlem2  15033  iseraltlem3  15034  fsumshftm  15130  fsumsub  15137  incexclem  15185  incexc  15186  bpoly3  15406  efmival  15500  cosadd  15512  sinsub  15515  sincossq  15523  moddvds  15612  dvdsadd2b  15650  bitsres  15816  pythagtriplem4  16150  mulgdirlem  18252  mulgmodid  18260  mulgsubdir  18261  cnsubrg  20599  zringlpirlem3  20627  cphipval  23840  pjthlem1  24034  mbfsub  24257  mbfmulc2  24258  itg2monolem1  24345  itgcnlem  24384  iblsub  24416  itgsub  24420  itgmulc2  24428  dvmptsub  24558  dvmptdiv  24565  dvexp3  24569  dvsincos  24572  dvlipcn  24585  ftc2  24635  aaliou3lem6  24931  logdiv2  25194  tanarg  25196  advlogexp  25232  cxpsub  25259  abscxpbnd  25328  relogbdiv  25351  isosctrlem2  25391  angpieqvdlem  25400  quad2  25411  dcubic1lem  25415  dcubic2  25416  dcubic  25418  mcubic  25419  dquartlem2  25424  dquart  25425  quart1lem  25427  quartlem1  25429  quart  25433  asinlem2  25441  cosasin  25476  atanlogsublem  25487  atantan  25495  atantayl2  25510  ftalem5  25648  basellem9  25660  lgseisenlem1  25945  2sqlem4  25991  rpvmasum2  26082  log2sumbnd  26114  chpdifbndlem1  26123  pntpbnd1  26156  axsegconlem9  26705  axeuclidlem  26742  smcnlem  28468  ipval2  28478  ipasslem2  28603  dipsubdir  28619  his2sub  28863  pjhthlem1  29162  circlemeth  31906  logdivsqrle  31916  fwddifnp1  33621  knoppndvlem2  33847  itg2gt0cn  34941  iblsubnc  34947  itgsubnc  34948  itgmulc2nc  34954  ftc1anclem8  34968  ftc2nc  34970  areacirclem1  34976  dffltz  39264  3cubeslem3r  39277  mzpsubmpt  39333  pellexlem6  39424  pell1234qrreccl  39444  pellfund14  39488  rmxyneg  39510  rmxm1  39524  rmym1  39525  congsub  39560  jm2.19lem1  39579  jm2.19lem4  39582  jm2.19  39583  jm2.26lem3  39591  sineq0ALT  41264  sub2times  41533  fzisoeu  41560  supsubc  41614  sublimc  41926  reclimc  41927  itgsincmulx  42252  itgsbtaddcnst  42260  stoweidlem10  42289  stoweidlem13  42292  stoweidlem22  42301  stoweidlem23  42302  stoweidlem26  42305  stoweidlem42  42321  stoweidlem47  42326  stirlinglem5  42357  dirkertrigeqlem2  42378  fourierdlem26  42412  fourierdlem36  42422  fourierdlem40  42426  fourierdlem41  42427  fourierdlem48  42433  fourierdlem49  42434  fourierdlem64  42449  fourierdlem78  42463  fourierdlem92  42477  fourierdlem97  42482  fourierdlem101  42486  fourierdlem107  42492  etransclem17  42530  etransclem46  42559  sigarperm  43111  quad1  43779  requad1  43781  requad2  43782  dignn0flhalflem1  44669  1subrec1sub  44686  eenglngeehlnmlem1  44718  eenglngeehlnmlem2  44719  rrx2linest2  44725  itscnhlc0yqe  44740  itschlc0yqe  44741  itsclc0yqsol  44745  itsclinecirc0b  44755  itsclquadb  44757