MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubd 10436
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negsubd (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 10367 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cmin 10304  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  mulsub  10511  divsubdir  10759  divsubdiv  10779  ofnegsub  11056  icoshftf1o  12333  fzosubel  12566  modsub12d  12767  expaddzlem  12943  binom2sub  13021  discr  13041  cjreb  13907  recj  13908  remullem  13912  imcj  13916  sqreulem  14143  subcn2  14369  lo1sub  14405  iseraltlem2  14457  iseraltlem3  14458  fsumshftm  14557  fsumsub  14564  incexclem  14612  incexc  14613  bpoly3  14833  efmival  14927  cosadd  14939  sinsub  14942  sincossq  14950  moddvds  15038  dvdsadd2b  15075  bitsres  15242  pythagtriplem4  15571  mulgdirlem  17619  mulgmodid  17628  mulgsubdir  17629  cnsubrg  19854  zringlpirlem3  19882  cphipval  23088  pjthlem1  23254  mbfsub  23474  mbfmulc2  23475  itg2monolem1  23562  itgcnlem  23601  iblsub  23633  itgsub  23637  itgmulc2  23645  dvmptsub  23775  dvmptdiv  23782  dvexp3  23786  dvsincos  23789  dvlipcn  23802  ftc2  23852  aaliou3lem6  24148  logdiv2  24408  tanarg  24410  advlogexp  24446  cxpsub  24473  abscxpbnd  24539  relogbdiv  24562  isosctrlem2  24594  angpieqvdlem  24600  quad2  24611  dcubic1lem  24615  dcubic2  24616  dcubic  24618  mcubic  24619  dquartlem2  24624  dquart  24625  quart1lem  24627  quartlem1  24629  quart  24633  asinlem2  24641  cosasin  24676  atanlogsublem  24687  atantan  24695  atantayl2  24710  ftalem5  24848  basellem9  24860  lgseisenlem1  25145  2sqlem4  25191  rpvmasum2  25246  log2sumbnd  25278  chpdifbndlem1  25287  pntpbnd1  25320  axsegconlem9  25850  axeuclidlem  25887  smcnlem  27680  ipval2  27690  ipasslem2  27815  dipsubdir  27831  his2sub  28077  pjhthlem1  28378  circlemeth  30846  logdivsqrle  30856  fwddifnp1  32397  knoppndvlem2  32629  itg2gt0cn  33595  iblsubnc  33601  itgsubnc  33602  itgmulc2nc  33608  ftc1anclem8  33622  ftc2nc  33624  areacirclem1  33630  mzpsubmpt  37623  pellexlem6  37715  pell1234qrreccl  37735  pellfund14  37779  rmxyneg  37802  rmxm1  37816  rmym1  37817  congsub  37854  jm2.19lem1  37873  jm2.19lem4  37876  jm2.19  37877  jm2.26lem3  37885  sineq0ALT  39487  sub2times  39799  fzisoeu  39828  supsubc  39882  sublimc  40202  reclimc  40203  itgsincmulx  40508  itgsbtaddcnst  40516  stoweidlem10  40545  stoweidlem13  40548  stoweidlem22  40557  stoweidlem23  40558  stoweidlem26  40561  stoweidlem42  40577  stoweidlem47  40582  stirlinglem5  40613  dirkertrigeqlem2  40634  fourierdlem26  40668  fourierdlem36  40678  fourierdlem40  40682  fourierdlem41  40683  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem64  40705  fourierdlem78  40719  fourierdlem92  40733  fourierdlem97  40738  fourierdlem101  40742  fourierdlem107  40748  etransclem17  40786  etransclem46  40815  sigarperm  41370  dignn0flhalflem1  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator