MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubdi2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubdi2d 10489
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negsubdi2d (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 negsubdi2 10421 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1564  wcel 2071  (class class class)co 6733  cc 10015  cmin 10347  -cneg 10348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-po 5107  df-so 5108  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-ltxr 10160  df-sub 10349  df-neg 10350
This theorem is referenced by:  cjneg  13975  icodiamlt  14262  geo2sum2  14693  bpoly3  14877  sinneg  14964  sinhval  14972  vitalilem1  23465  vitalilem2  23466  itgneg  23658  dvrec  23806  dvferm2lem  23837  dvfsumge  23873  dvfsumlem2  23878  dvfsum2  23885  ftc1lem5  23891  ftc2ditg  23897  plyeq0lem  24054  efif1olem2  24377  ang180  24632  isosctrlem3  24638  isosctr  24639  angpieqvdlem  24643  chordthmlem  24647  mcubic  24662  quart1lem  24670  quartlem1  24672  atanneg  24722  atancj  24725  efiatan  24727  atanlogsub  24731  efiatan2  24732  2efiatan  24733  atantan  24738  atanbndlem  24740  pntrsumo1  25342  pntrlog2bndlem2  25355  pntrlog2bndlem4  25357  pntibndlem2  25368  brbtwn2  25873  colinearalglem4  25877  axsegconlem9  25893  dipcj  27767  bcm1n  29752  signsplypnf  30825  fsum2dsub  30883  dnibndlem11  32673  itg2addnclem3  33663  itg2gt0cn  33665  congsym  37922  cvgdvgrat  38899  negsubdi3d  39890  lptre2pt  40260  liminflimsupclim  40427  stoweidlem13  40618  dirkertrigeqlem2  40704  fourierdlem26  40738  fourierdlem89  40800  fourierdlem90  40801  fourierdlem91  40802  fourierdlem107  40818  etransclem23  40862  sharhght  41445  sigaradd  41446  cevathlem2  41448  fmtnorec3  41855
  Copyright terms: Public domain W3C validator