Theorem neibastop1 33702

Description: A collection of neighborhood bases determines a topology. Part of Theorem 4.5 of Stephen Willard's General Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
neibastop1.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
neibastop1.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅)
neibastop1.4	⊢ 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}

Assertion

Ref	Expression
neibastop1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑣,𝐽   𝑣,𝑜,𝑤,𝑥,𝐹   𝜑,𝑜,𝑣,𝑤,𝑥   𝑜,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑤,𝑜)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑜)

Proof of Theorem neibastop1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝐽)
2		neibastop1.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
3		ssrab2 4055	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅} ⊆ 𝒫 𝑋
4	2, 3	eqsstri 4000	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
5	1, 4	sstrdi 3978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
6		sspwuni 5014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
7	5, 6	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
8		vuniex 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ V
9	8	elpw 4545	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
10	7, 9	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
11		eluni2 4835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 ∈ 𝑧)
12		elssuni 4860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ⊆ ∪ 𝑦)
13	12	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ⊆ ∪ 𝑦)
14		sspwb 5333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ⊆ ∪ 𝑦 ↔ 𝒫 𝑧 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑦)
15	13, 14	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑦)
16		sslin 4210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 𝑧 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦))
18	1	sselda 3966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐽)
19	18	adantrr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐽)
20		pweq 4541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑧)
21	20	ineq2d 4188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
22	21	neeq1d 3075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
23	22	raleqbi1dv 3403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
24	23, 2	elrab2 3682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐽 ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
25	24	simprbi 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
27		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑧)
28		rsp 3205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
29	26, 27, 28	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
30		ssn0 4353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅)
31	17, 29, 30	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅)
32	31	rexlimdvaa 3285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → (∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 ∈ 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
33	11, 32	syl5bi 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
34	33	ralrimiv 3181	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅)
35		pweq 4541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 ∪ 𝑦)
36	35	ineq2d 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦))
37	36	neeq1d 3075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
38	37	raleqbi1dv 3403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
39	38, 2	elrab2 3682	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝐽 ↔ (∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
40	10, 34, 39	sylanbrc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
41	40	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽))
42	41	alrimiv 1924	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽))
43		pweq 4541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑦)
44	43	ineq2d 4188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
45	44	neeq1d 3075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
46	45	raleqbi1dv 3403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
47	46, 2	elrab2 3682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
48	47, 24	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)))
49		an4 654	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)))
50	48, 49	bitri 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)))
51		inss1 4204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑦
52		elpwi 4550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
53	51, 52	sstrid 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
54	53	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
55	54	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
56		vex 3497	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
57	56	inex1 5213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ V
58	57	elpw 4545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
59	55, 58	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝑋)
60		ssralv 4032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
61	51, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅)
62		inss2 4205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑧
63		ssralv 4032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
65	61, 64	anim12i 614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
66		r19.26 3170	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)(((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
67	65, 66	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)(((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
68		n0 4309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
69		n0 4309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
70	68, 69	anbi12i 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) ↔ (∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)))
71		exdistrv 1952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣∃𝑤(𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) ↔ (∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)))
72		inss2 4205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ 𝒫 𝑦
73		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
74	72, 73	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝑦)
75	74	elpwid 4552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ⊆ 𝑦)
76		inss2 4205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑧
77		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
78	76, 77	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑧)
79	78	elpwid 4552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ⊆ 𝑧)
80		ss2in 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧) → (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧))
81	75, 79, 80	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧))
82		sspwb 5333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) ↔ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧))
83	81, 82	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧))
84		sslin 4210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)))
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)))
86		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝜑)
87	54	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
88		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧))
89	87, 88	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
90		inss1 4204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ (𝐹‘𝑥)
91	90, 73	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥))
92		inss1 4204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥)
93	92, 77	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))
94		neibastop1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅)
95	86, 89, 91, 93, 94	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅)
96		ssn0 4353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅)
97	85, 95, 96	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅)
98	97	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → ((𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
99	98	exlimdvv 1931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → (∃𝑣∃𝑤(𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
100	71, 99	syl5bir 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → ((∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
101	70, 100	syl5bi 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
102	101	ralimdva 3177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)(((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
103	67, 102	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) → ((∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
104	103	impr 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅)
105		pweq 4541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → 𝒫 𝑜 = 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧))
106	105	ineq2d 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)))
107	106	neeq1d 3075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
108	107	raleqbi1dv 3403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
109	108, 2	elrab2 3682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
110	59, 104, 109	sylanbrc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)
111	50, 110	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)
112	111	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐽 ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)
113		neibastop1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
114		sspwuni 5014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
115	4, 114	mpbi 232	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
116	115	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
117	113, 116	ssexd 5220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
118		uniexb 7480	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ V ↔ ∪ 𝐽 ∈ V)
119	117, 118	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
120		istopg 21497	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ V → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)))
121	119, 120	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)))
122	42, 112, 121	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
123		pwidg 4555	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
124	113, 123	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
125		neibastop1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
126	125	ffvelrnda 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
127		eldifi 4102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
128		elpwi 4550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 → (𝐹‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋)
129	126, 127, 128	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋)
130		df-ss 3951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) = (𝐹‘𝑥))
131	129, 130	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) = (𝐹‘𝑥))
132		eldifsni 4715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
133	126, 132	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
134	131, 133	eqnetrd 3083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅)
135	134	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅)
136		pweq 4541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑋)
137	136	ineq2d 4188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋))
138	137	neeq1d 3075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅))
139	138	raleqbi1dv 3403	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅))
140	139, 2	elrab2 3682	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅))
141	124, 135, 140	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
142		elssuni 4860	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
143	141, 142	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
144	143, 116	eqssd 3983	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
145		istopon 21514	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
146	122, 144, 145	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083  ∀wal 1531   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  {csn 4560  ∪ cuni 4831  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  Topctop 21495  TopOnctopon 21512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-top 21496  df-topon 21513

This theorem is referenced by:  neibastop2  33704  neibastop3  33705