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Theorem neibastop2 32051
Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1 (𝜑𝑋𝑉)
neibastop1.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
neibastop1.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
neibastop1.4 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
neibastop1.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
neibastop1.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
neibastop2 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑡,𝑦,𝑥   𝑣,𝐽   𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝑜,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑃   𝑜,𝑁,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑜,𝐹,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑜,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑜,𝑋,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑤,𝑡,𝑜)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑡,𝑜)

Proof of Theorem neibastop2
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑧 𝑠 𝑢 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
2 neibastop1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
3 neibastop1.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
4 neibastop1.4 . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
51, 2, 3, 4neibastop1 32049 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 topontop 20658 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
9 eqid 2621 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
109neii1 20850 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁 𝐽)
118, 10sylan 488 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁 𝐽)
12 toponuni 20659 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1413ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑋 = 𝐽)
1511, 14sseqtr4d 3627 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁𝑋)
16 neii2 20852 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))
178, 16sylan 488 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))
18 pweq 4139 . . . . . . . . . . 11 (𝑜 = 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑦)
1918ineq2d 3798 . . . . . . . . . 10 (𝑜 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
2019neeq1d 2849 . . . . . . . . 9 (𝑜 = 𝑦 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
2120raleqbi1dv 3139 . . . . . . . 8 (𝑜 = 𝑦 → (∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
2221, 4elrab2 3353 . . . . . . 7 (𝑦𝐽 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
23 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝑦𝑁)
24 sspwb 4888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑁 ↔ 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁)
2523, 24sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁)
26 sslin 3823 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁 → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
28 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → {𝑃} ⊆ 𝑦)
29 snssg 4303 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑋 → (𝑃𝑦 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑦))
3029ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (𝑃𝑦 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑦))
3128, 30mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝑃𝑦)
32 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑃 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑃))
3332ineq1d 3797 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑃 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) = ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦))
3433neeq1d 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
3534rspcv 3295 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃𝑦 → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
37 ssn0 3954 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)
3827, 36, 37syl6an 567 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
3938expr 642 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4039com23 86 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4140expimpd 628 . . . . . . 7 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4222, 41syl5bi 232 . . . . . 6 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑦𝐽 → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4342rexlimdv 3025 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
4417, 43mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)
4515, 44jca 554 . . 3 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
4645ex 450 . 2 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
47 n0 3913 . . . 4 (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
48 elin 3780 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ↔ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))
49 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁𝑋)
5013ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑋 = 𝐽)
5149, 50sseqtrd 3626 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁 𝐽)
521ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑋𝑉)
532ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
54 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝜑)
5554, 3sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
56 neibastop1.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
5754, 56sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
58 neibastop1.6 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
5954, 58sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
60 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑃𝑋)
61 simprrl 803 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠 ∈ (𝐹𝑃))
62 simprrr 804 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁)
6362elpwid 4148 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠𝑁)
64 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑥))
6564ineq1d 3797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏))
6665cbviunv 4532 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏)
67 pweq 4139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑧 → 𝒫 𝑏 = 𝒫 𝑧)
6867ineq2d 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
6968iuneq2d 4520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑧 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
7066, 69syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑧 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
7170cbviunv 4532 . . . . . . . . . . . 12 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)
7271mpteq2i 4711 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
73 rdgeq1 7467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) = rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠}))
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) = rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠})
7574reseq1i 5362 . . . . . . . . 9 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠}) ↾ ω)
76 pweq 4139 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → 𝒫 𝑔 = 𝒫 𝑓)
7776ineq2d 3798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) = ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓))
7877neeq1d 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → (((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
7978cbvrexv 3164 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)
80 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
8180ineq1d 3797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓))
8281neeq1d 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8382rexbidv 3047 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8479, 83syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8584cbvrabv 3189 . . . . . . . . 9 {𝑤𝑋 ∣ ∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅} = {𝑦𝑋 ∣ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅}
8652, 53, 55, 4, 57, 59, 60, 49, 61, 63, 75, 85neibastop2lem 32050 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))
877ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝐽 ∈ Top)
8860, 50eleqtrd 2700 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑃 𝐽)
899isneip 20849 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))))
9087, 88, 89syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))))
9151, 86, 90mpbir2and 956 . . . . . . 7 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9291expr 642 . . . . . 6 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9348, 92syl5bi 232 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9493exlimdv 1858 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9547, 94syl5bi 232 . . 3 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9695expimpd 628 . 2 ((𝜑𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9746, 96impbid 202 1 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  {crab 2912  Vcvv 3190  cdif 3557  cin 3559  wss 3560  c0 3897  𝒫 cpw 4136  {csn 4155   cuni 4409   ciun 4492  cmpt 4683  ran crn 5085  cres 5086  wf 5853  cfv 5857  ωcom 7027  reccrdg 7465  Topctop 20638  TopOnctopon 20655  neicnei 20841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-top 20639  df-topon 20656  df-nei 20842
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