Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neifg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neifg 32593
Description: The neighborhood filter of a nonempty set is generated by its open supersets. See comments for opnfbas 21768. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
neifg.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neifg ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem neifg
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifg.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21opnfbas 21768 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
3 fgval 21796 . . 3 ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
42, 3syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
5 pweq 4269 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑢 → 𝒫 𝑡 = 𝒫 𝑢)
65ineq2d 3922 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑢 → ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) = ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
76neeq1d 2955 . . . . 5 (𝑡 = 𝑢 → (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅ ↔ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
87elrab 3469 . . . 4 (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
9 selpw 4273 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋)
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋))
11 n0 4039 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
12 elin 3904 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢))
13 sseq2 3733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑆𝑥𝑆𝑧))
1413elrab 3469 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ↔ (𝑧𝐽𝑆𝑧))
15 selpw 4273 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑢𝑧𝑢)
1614, 15anbi12i 735 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1712, 16bitri 264 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1817exbii 1887 . . . . . . . 8 (∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1911, 18bitri 264 . . . . . . 7 (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)))
2110, 20anbi12d 749 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))))
221isnei 21030 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))))
23223adant3 1124 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))))
24 anass 684 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ (𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
2524exbii 1887 . . . . . . . 8 (∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
26 df-rex 3020 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
2725, 26bitr4i 267 . . . . . . 7 (∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))
2827anbi2i 732 . . . . . 6 ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
2923, 28syl6rbbr 279 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
3021, 29bitrd 268 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
318, 30syl5bb 272 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
3231eqrdv 2722 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
334, 32eqtrd 2758 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wex 1817  wcel 2103  wne 2896  wrex 3015  {crab 3018  cin 3679  wss 3680  c0 4023  𝒫 cpw 4266   cuni 4544  cfv 6001  (class class class)co 6765  fBascfbas 19857  filGencfg 19858  Topctop 20821  neicnei 21024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-top 20822  df-nei 21025
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator