Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neificl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neificl 33202
Description: Neighborhoods are closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
neificl (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem neificl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 793 . . 3 ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ Fin)
2 innei 20842 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑥𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
323expib 1265 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑥𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
43ralrimivv 2964 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)(𝑥𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
5 fiint 8184 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)(𝑥𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
64, 5sylib 208 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
7 sseq1 3607 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
8 neeq1 2852 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
9 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑁 ∈ Fin))
107, 8, 93anbi123d 1396 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)))
11 3ancomb 1045 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
12 3anass 1040 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
1311, 12bitri 264 . . . . . . . 8 ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
1410, 13syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))))
15 inteq 4445 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 𝑥 = 𝑁)
1615eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ( 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
1714, 16imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ↔ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
1817spcgv 3279 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
196, 18syl5 34 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
2019com3l 89 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → (𝑁 ∈ Fin → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
211, 20mpdi 45 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
2221impl 649 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  cin 3555  wss 3556  c0 3893   cint 4442  cfv 5849  Fincfn 7902  Topctop 20620  neicnei 20814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-fin 7906  df-top 20621  df-nei 20815
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator