MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neii1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neii1 20820
Description: A neighborhood is included in the topology's base set. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neii1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑁𝑋)

Proof of Theorem neii1
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifval.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21neiss2 20815 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑋)
31isnei 20817 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
4 simpl 473 . . . 4 ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)) → 𝑁𝑋)
53, 4syl6bi 243 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑁𝑋))
65impancom 456 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑆𝑋𝑁𝑋))
72, 6mpd 15 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑁𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  wss 3555   cuni 4402  cfv 5847  Topctop 20617  neicnei 20811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-top 20621  df-nei 20812
This theorem is referenced by:  neisspw  20821  neiss  20823  opnnei  20834  neiuni  20836  topssnei  20838  innei  20839  neissex  20841  iscnp4  20977  llycmpkgen2  21263  neitx  21320  flimopn  21689  flfnei  21705  fclsneii  21731  fcfnei  21749  cnextcn  21781  limcflf  23551  cvmlift2lem1  30989  neiin  31966  neibastop2  31995
  Copyright terms: Public domain W3C validator