MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neii2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neii2 20817
Description: Property of a neighborhood. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
neii2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔

Proof of Theorem neii2
StepHypRef Expression
1 eqid 2626 . . 3 𝐽 = 𝐽
21neiss2 20810 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 𝐽)
31isnei 20812 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
4 simpr 477 . . . 4 ((𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
53, 4syl6bi 243 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
65impancom 456 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑆 𝐽 → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
72, 6mpd 15 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1992  wrex 2913  wss 3560   cuni 4407  cfv 5850  Topctop 20612  neicnei 20806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-top 20616  df-nei 20807
This theorem is referenced by:  neiss  20818  ssnei  20819  ssnei2  20825  innei  20834  opnneiid  20835  neissex  20836  cnpnei  20973  hausnei2  21062  nlly2i  21184  neitx  21315  cnextcn  21776  utopreg  21961  neibastop2  31990
  Copyright terms: Public domain W3C validator