Theorem neipeltop 21731

Description: Lemma for neiptopreu 21735. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
neiptop.o	⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}

Assertion

Ref	Expression
neipeltop	⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝐶   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑝,𝑎)   𝑁(𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem neipeltop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2900	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
2	1	raleqbi1dv 3404	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
3		neiptop.o	. . 3 ⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}
4	2, 3	elrab2 3683	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
5		0ex 5204	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
6		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐶 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
7	5, 6	mpbiri 260	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 ∈ V)
9		elex 3513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → 𝐶 ∈ V)
10	9	ralimi 3160	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V)
11		r19.3rzv 4444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ∈ V ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V))
12	11	biimparc 482	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐶 ∈ V)
13	10, 12	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐶 ∈ V)
14	8, 13	pm2.61dane 3104	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → 𝐶 ∈ V)
15		elpwg 4545	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑋))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑋))
17	16	pm5.32ri 578	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
18	4, 17	bitri 277	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539  ‘cfv 6350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-nul 5203

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-pw 4541

This theorem is referenced by:  neiptopuni  21732  neiptoptop  21733  neiptopnei  21734  neiptopreu  21735