MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neips Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neips 21649
Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition 1 of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neips ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑝   𝑁,𝑝   𝑆,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem neips
Dummy variables 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4733 . . . . . 6 (𝑝𝑆 → {𝑝} ⊆ 𝑆)
2 neiss 21645 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ {𝑝} ⊆ 𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))
31, 2syl3an3 1157 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑝𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))
433exp 1111 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → (𝑝𝑆𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))))
54ralrimdv 3185 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
653ad2ant1 1125 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
7 r19.28zv 4442 . . . . 5 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
873ad2ant3 1127 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
9 ssrab2 4053 . . . . . . . . . 10 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝐽
10 uniopn 21433 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝐽) → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
119, 10mpan2 687 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
1211ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
13 sseq1 3989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑔 → (𝑣𝑁𝑔𝑁))
1413elrab 3677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ (𝑔𝐽𝑔𝑁))
15 elunii 4835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝑔𝑔 ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁}) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1614, 15sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝𝑔 ∧ (𝑔𝐽𝑔𝑁)) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1716an12s 645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝐽 ∧ (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1817rexlimiva 3278 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1918ralimi 3157 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → ∀𝑝𝑆 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
20 dfss3 3953 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ ∀𝑝𝑆 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2119, 20sylibr 235 . . . . . . . . . 10 (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → 𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2221adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → 𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
23 unissb 4861 . . . . . . . . . 10 ( {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁 ↔ ∀ ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁}𝑁)
24 sseq1 3989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = → (𝑣𝑁𝑁))
2524elrab 3677 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ (𝐽𝑁))
2625simprbi 497 . . . . . . . . . 10 ( ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} → 𝑁)
2723, 26mprgbir 3150 . . . . . . . . 9 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁
2822, 27jctir 521 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁))
29 sseq2 3990 . . . . . . . . . 10 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → (𝑆𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁}))
30 sseq1 3989 . . . . . . . . . 10 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → (𝑁 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁))
3129, 30anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → ((𝑆𝑁) ↔ (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁)))
3231rspcev 3620 . . . . . . . 8 (( {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁)) → ∃𝐽 (𝑆𝑁))
3312, 28, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → ∃𝐽 (𝑆𝑁))
3433ex 413 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → ∃𝐽 (𝑆𝑁)))
3534anim2d 611 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
36353adant3 1124 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
378, 36sylbid 241 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
38 ssel2 3959 . . . . . . 7 ((𝑆𝑋𝑝𝑆) → 𝑝𝑋)
39 neips.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
4039isneip 21641 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑝𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4138, 40sylan2 592 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑝𝑆)) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4241anassrs 468 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑝𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4342ralbidva 3193 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ ∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
44433adant3 1124 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ ∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4539isnei 21639 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
46453adant3 1124 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
4737, 44, 463imtr4d 295 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
486, 47impbid 213 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   cuni 4830  cfv 6348  Topctop 21429  neicnei 21633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-top 21430  df-nei 21634
This theorem is referenced by:  utop2nei  22786
  Copyright terms: Public domain W3C validator