MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neiss 20665
Description: Any neighborhood of a set 𝑆 is also a neighborhood of any subset 𝑅𝑆. Theorem of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 25-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
neiss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑅))

Proof of Theorem neiss
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . 4 𝐽 = 𝐽
21neii1 20662 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑁 𝐽)
323adant3 1073 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑁 𝐽)
4 neii2 20664 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
543adant3 1073 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
6 sstr2 3574 . . . . . 6 (𝑅𝑆 → (𝑆𝑔𝑅𝑔))
76anim1d 585 . . . . 5 (𝑅𝑆 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) → (𝑅𝑔𝑔𝑁)))
87reximdv 2998 . . . 4 (𝑅𝑆 → (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑅𝑔𝑔𝑁)))
983ad2ant3 1076 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑅𝑔𝑔𝑁)))
105, 9mpd 15 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → ∃𝑔𝐽 (𝑅𝑔𝑔𝑁))
11 simp1 1053 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
12 simp3 1055 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅𝑆)
131neiss2 20657 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 𝐽)
14133adant3 1073 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑆 𝐽)
1512, 14sstrd 3577 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅 𝐽)
161isnei 20659 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑅 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑅) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑅𝑔𝑔𝑁))))
1711, 15, 16syl2anc 690 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑅) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑅𝑔𝑔𝑁))))
183, 10, 17mpbir2and 958 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wcel 1976  wrex 2896  wss 3539   cuni 4366  cfv 5790  Topctop 20459  neicnei 20653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-top 20463  df-nei 20654
This theorem is referenced by:  neips  20669  neissex  20683
  Copyright terms: Public domain W3C validator